Функції та графіки

Функція, $D(f)$ і $E(f)$

Функція $y=f(x)$ — правило, за яким кожному $x$ з множини $D(f)$ відповідає єдине значення $y$.

$D(f)$ — область визначення (усі $x$), $E(f)$ — область значень (усі значення $y$); це проєкції графіка на осі.

Способи задання: описом, формулою, таблицею, графіком.

Якщо $D(f)$ не вказано, то це всі $x$, при яких формула має зміст: знаменник $\ne0$; вираз під квадратним коренем $\ge0$, а якщо корінь у знаменнику, то $>0$. Приклад: $y=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}$, $D(y)=[-2;\,3)\cup(3;\,+\infty)$.

$E(f)$ часто знаходять за допомогою оцінок $x^2\ge0$, $|x|\ge0$, $\sqrt x\ge0$: для $y=x^2+3$ маємо $E(y)=[3;\,+\infty)$, для $y=5-|x|$ — $E(y)=(-\infty;\,5]$.

Точка $(x_0;\,y_0)$ лежить на графіку $\Leftrightarrow$ $y_0=f(x_0)$. Перетин з віссю $y$ — точка $(0;\,f(0))$ (якщо $0\in D(f)$), з віссю $x$ — точки $(x_0;\,0)$, де $f(x_0)=0$.

Вертикальна пряма перетинає графік функції не більше ніж в одній точці.

Підручник 7 кл., п. 20–22; 9 кл., п. 7; 10 кл., п. 2 НМТ № 6, 16

Нулі, знакосталість, зростання і спадання

На рисунку: $D(f)=[-4;\,5]$, $E(f)=[-2;\,2]$.

Нулі — значення $x$, при яких $f(x)=0$ (абсциси спільних точок графіка з віссю $x$); тут $-3$, $1$, $5$.

Проміжки знакосталості: $f(x)>0$ — графік над віссю $x$ (тут на $(-3;\,1)$), $f(x)<0$ — під нею (на $[-4;\,-3)$ і $(1;\,5)$).

Зростає на проміжку: для будь-яких його $x_1<x_2$ маємо $f(x_1)<f(x_2)$; спадає: $f(x_1)>f(x_2)$. Тут зростає на $[-4;\,-1]$ і $[3;\,5]$, спадає на $[-1;\,3]$. Функцію, що зростає (спадає) на всій $D(f)$, називають зростаючою (спадною).

Проміжки вказують найбільшої довжини. Функція $y=\frac1x$ спадає на кожному з проміжків $(-\infty;\,0)$ і $(0;\,+\infty)$, але не на їх об’єднанні.

Підручник 9 кл., п. 8; 10 кл., п. 2 НМТ № 6, 16

Найбільше й найменше значення

Найбільше значення на множині $M$: $\max_M f(x)=f(x_0)$, якщо $x_0\in M$ і $f(x)\le f(x_0)$ для всіх $x\in M$; найменше $\min_M f(x)$ — аналогічно. Для функції з попередньої картки $\max f(x)=f(-1)=2$, $\min f(x)=f(3)=-2$.

Якщо $f$ зростає на $[a;\,b]$, то $\min_{[a;\,b]}f(x)=f(a)$, $\max_{[a;\,b]}f(x)=f(b)$; якщо спадає — навпаки.

Не кожна функція їх має: $y=x^2$ не має найбільшого значення.

Підручник 10 кл., п. 2 НМТ № 16

Парні й непарні функції

$D(f)$ симетрична відносно нуля (з $x\in D(f)$ випливає $-x\in D(f)$) і для всіх $x\in D(f)$:

парна — $f(-x)=f(x)$; графік симетричний відносно осі $y$;

непарна — $f(-x)=-f(x)$; графік симетричний відносно початку координат.

парна: $M(a;\,b)$ і $M_1(-a;\,b)$

непарна: $M(a;\,b)$ і $M_1(-a;\,-b)$

Парні: $y=x^2$, $y=|x|$, $y=c$. Непарні: $y=kx$, $y=\frac kx$, $y=x^3$. $y=0$ — і парна, і непарна; $y=x+1$ і $y=\sqrt x$ — ні парні, ні непарні.

Як дослідити: 1) чи симетрична $D(f)$ (якщо ні — функція ні парна, ні непарна); 2) порівняти $f(-x)$ з $f(x)$ і з $-f(x)$. Приклад: $f(x)=x^3-x$, $f(-x)=-x^3+x=-f(x)$ — непарна.

Якщо непарна функція визначена в точці $0$, то $f(0)=0$.

Підручник 10 кл., п. 2 НМТ № 16, 19

Обернена функція

Функція оборотна, якщо кожного свого значення вона набуває лише в одній точці: для кожного $y_0\in E(f)$ існує єдине $x_0\in D(f)$ таке, що $f(x_0)=y_0$. Зростаюча (спадна) функція — оборотна.

Функції $f$ і $g$ взаємно обернені, якщо $D(g)=E(f)$, $E(g)=D(f)$ і з $f(x_0)=y_0$ випливає $g(y_0)=x_0$.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої $y=x$ (на рисунку $y=x^2$, $x\ge0$, і $y=\sqrt x$).

Обернена до зростаючої функції — зростаюча, до спадної — спадна.

Як знайти: з $y=f(x)$ виразити $x$ через $y$ і поміняти позначення: $y=2x-1$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{y+1}{2}$ $\Rightarrow$ $y=\dfrac{x+1}{2}$.

Підручник 10 кл., п. 4

Лінійна функція $y=kx+b$

$D(y)=\mathbb R$; графік — пряма. $k=\tg\alpha$ — кутовий коефіцієнт ($\alpha$ — кут між прямою і додатним напрямом осі $x$).

$k>0$ — функція зростає, $k<0$ — спадає, $k=0$ — стала: $y=b$.

$E(y)=\mathbb R$ при $k\ne0$; при $k=0$ — одне число $b$ (пряма $y=b$ перпендикулярна до осі $y$). Перетин з віссю $y$ — точка $(0;\,b)$, з віссю $x$ (при $k\ne0$) — точка $\bigl(-\frac bk;\,0\bigr)$.

Пряма пропорційність $y=kx$, $k\ne0$: графік проходить через початок координат.

Прямі $y=k_1x+b_1$ і $y=k_2x+b_2$ паралельні $\Leftrightarrow$ $k_1=k_2$, $b_1\ne b_2$; при $k_1\ne k_2$ — перетинаються.

Пряма через точки $(x_1;\,y_1)$ і $(x_2;\,y_2)$, $x_1\ne x_2$: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, $b=y_1-kx_1$.

$k>0$, $b>0$

$k>0$, $b<0$

$k<0$, $b>0$

$k<0$, $b<0$

Підручник 7 кл., п. 23; 9 кл., п. 8; геом. 9 кл., п. 11 НМТ № 6, 16

Функції $y=x^2$, $y=\sqrt x$, $y=|x|$, $y=x^3$

$y=x^2$ — парабола. $D(y)=\mathbb R$, $E(y)=[0;\,+\infty)$; парна; спадає на $(-\infty;\,0]$, зростає на $[0;\,+\infty)$.

$y=\sqrt x$ — вітка параболи. $D(y)=E(y)=[0;\,+\infty)$; зростає; ні парна, ні непарна.

$y=|x|$: $D(y)=\mathbb R$, $E(y)=[0;\,+\infty)$; парна; спадає на $(-\infty;\,0]$, зростає на $[0;\,+\infty)$.

$y=x^3$: $D(y)=E(y)=\mathbb R$; непарна; зростає.

$|x|=x$, якщо $x\ge0$; $|x|=-x$, якщо $x<0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Степеневу, показникову й логарифмічну функції — у довіднику «Степені, корені, логарифми», тригонометричні функції й періодичність — у довіднику «Тригонометрія».

Підручник 6 кл., п. 30; 8 кл., п. 11, 17; 10 кл., п. 8 НМТ № 6, 16

Обернена пропорційність $y=\frac kx$, $k\ne0$

$k>0$: вітки в I і III чвертях

$k<0$: вітки в II і IV чвертях

Графік — гіпербола. $D(y)$ і $E(y)$ — усі числа, крім $0$; нулів немає; функція непарна.

$k>0$: спадає на кожному з проміжків $(-\infty;\,0)$ і $(0;\,+\infty)$; $k<0$: зростає на кожному з них.

Осі координат — асимптоти: вітки необмежено наближаються до осей, але не перетинають їх.

Для будь-якої точки $(x_0;\,y_0)$ гіперболи $k=x_0y_0$: на рисунках $k=1\cdot2=2$ і $k=1\cdot(-2)=-2$.

Підручник 8 кл., п. 10; 9 кл., п. 8 НМТ № 6, 16

Парабола $y=ax^2$, $a\ne0$

Вершина — $O(0;\,0)$, вісь симетрії — вісь $y$. Вітки напрямлені вгору при $a>0$ і вниз при $a<0$.

Що більше $|a|$, то «вужча» парабола: графік $y=ax^2$ отримують з параболи $y=x^2$ перетворенням $y=kf(x)$ при $k=a$ (розділ 4).

Підручник 9 кл., п. 9 НМТ № 6

Парабола $y=ax^2+bx+c$, $a\ne0$

Графік — парабола, що дорівнює параболі $y=ax^2$: вітки вгору при $a>0$, униз при $a<0$.

Вершина $(x_0;\,y_0)$:

$x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $y_0=f(x_0)$

Вісь симетрії — пряма $x=x_0$; перетин з віссю $y$ — точка $(0;\,c)$.

Нулі — корені рівняння $ax^2+bx+c=0$; $D=b^2-4ac$Д (є в довідкових матеріалах НМТ):

$D>0$: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ);

$D=0$: $x_1=x_2=-\dfrac b{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ);  $D<0$: нулів немає.

При $D>0$ вершина посередині між нулями: $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.

Вигляд $y=a(x-x_0)^2+y_0$ одразу показує вершину: це парабола $y=ax^2$, у якої вершину $O$ перенесено в точку $(x_0;\,y_0)$.

Підручник 8 кл., п. 19; 9 кл., п. 9–11 НМТ № 6, 16

Властивості квадратичної функції

На відрізку найбільше й найменше значення — серед значень у його кінцях і у вершині (якщо $x_0$ належить відрізку).

Знаки коефіцієнтів за графіком: $a$ — за напрямом віток; $c$ — за точкою $(0;\,c)$; якщо вершина ліворуч від осі $y$, то $a$ і $b$ одного знака, праворуч — різних ($b=0$, якщо вершина на осі $y$).

Підручник 9 кл., п. 9, 11 НМТ № 6, 16

Розміщення параболи відносно осі $x$

$x_1$, $x_2$ — нулі функції, $x_0$ — абсциса вершини. За схемою розв’язують квадратні нерівності: $ax^2+bx+c>0$ там, де парабола над віссю $x$, $ax^2+bx+c<0$ — де під нею. Якщо $D<0$, то $ax^2+bx+c$ при всіх $x$ має знак числа $a$.

Підручник 9 кл., п. 11, 12 НМТ № 6

Як отримати графік з графіка $y=f(x)$

Точка $(x_0;\,y_0)$ графіка $y=f(x)$ переходить у точку другого стовпця.

Зважайте на напрям: $y=f(x-3)$ — зсув управо на 3; $y=(x+2)^2$ — парабола $y=x^2$, зсунута вліво на 2. Якщо $k<0$, додається симетрія: для $y=kf(x)$ — відносно осі $x$, для $y=f(kx)$ — відносно осі $y$.

Кілька перетворень виконують по черзі: $y=2\sqrt{x+1}-3$ — з $y=\sqrt x$ зсувом уліво на 1, розтягненням від осі $x$ у 2 рази і зсувом униз на 3.

Підручник 9 кл., п. 9–11; 10 кл., п. 3 НМТ № 6

Перетворення на прикладі $y=\sqrt x$ (штрихова)

$y=\sqrt x+1$:
угору на 1

$y=\sqrt{x+2}$:
уліво на 2

$y=\sqrt{x-2}$:
управо на 2

$y=-\sqrt x$: симетрія відносно осі $x$

$y=\sqrt{-x}$: симетрія відносно осі $y$

$y=2\sqrt x$: розтягнення від осі $x$ у 2 рази

Підручник 9 кл., п. 9–11; 10 кл., п. 3 НМТ № 6

Зсуви: вершина, центр, асимптоти

штрихова — $y=x^2$,
суцільна — $y=(x-2)^2-1$

$y=\frac1{x-2}+1$:
асимптоти $x=2$ і $y=1$

Зсув на $m$ уздовж осі $x$ і на $n$ уздовж осі $y$ переносить «опорну» точку в $(m;\,n)$:

$y=a(x-m)^2+n$ — парабола з вершиною $(m;\,n)$;

$y=|x-m|+n$ — «кут» з вершиною $(m;\,n)$;

$y=\sqrt{x-m}+n$ — вітка параболи з початком $(m;\,n)$;

$y=\frac k{x-m}+n$ — гіпербола з асимптотами $x=m$ і $y=n$.

Функцію виду $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne0$, $ad-bc\ne0$) зводять до останнього вигляду, виділивши цілу частину: $\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ — асимптоти $x=1$ і $y=1$.

Підручник 9 кл., п. 10, 11; 10 кл., п. 3 НМТ № 6

Формула за графіком

Пряму задають двома точками, параболу — вершиною $(x_0;\,y_0)$ і ще однією точкою: $y=a(x-x_0)^2+y_0$; гіперболу — асимптотами $x=m$, $y=n$ і точкою: $y=\frac k{x-m}+n$.

$b=2$, $k=\frac{0-2}{3-0}=-\frac23$;
$y=-\frac23x+2$

$3=a(0-2)^2-1$, $a=1$;
$y=(x-2)^2-1$

$0=\frac{k}{0+1}+2$, $k=-2$;
$y=-\frac{2}{x+1}+2$

Підручник 7 кл., п. 23; 9 кл., п. 10, 11; 10 кл., п. 3 НМТ № 6

Модуль у графіках. Графічний метод

$y=|x^2-4x+3|$

$y=x^2-4|x|+3$

Для $f(x)=x^2-4x+3$: ліворуч — $y=|f(x)|$ (штрихова — частина графіка $f$ під віссю $x$, яку відобразили), праворуч — $y=f(|x|)$, парна функція.

Графічний метод: корені рівняння $f(x)=g(x)$ — абсциси спільних точок графіків $y=f(x)$ і $y=g(x)$; нерівність $f(x)>g(x)$ виконується при тих $x$, де графік $f$ лежить вище від графіка $g$. Кількість коренів рівняння $f(x)=a$ — кількість спільних точок графіка $y=f(x)$ і прямої $y=a$.

Приклад (ліворуч): $|x^2-4x+3|=a$ має 4 корені при $0<a<1$, 3 — при $a=1$, 2 — при $a=0$ або $a>1$, жодного — при $a<0$.

Підручник 8 кл., п. 10; 9 кл., п. 11; 10 кл., п. 3 НМТ № 6, 22

Раціональні нерівності

Для нерівностей $\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{x-x_3}\ge0$ і подібних:

1) усе перенести вліво, звести до дробу, чисельник і знаменник розкласти на множники; $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ), де $x_1$, $x_2$ — корені ($D\ge0$);

2) нулі чисельника й знаменника позначити на прямій: нулі знаменника — порожні точки; нулі чисельника — зафарбовані для $\ge$, $\le$ (крім тих, що є й нулями знаменника) і порожні для $>$, $<$;

3) знаки: якщо в усіх множниках коефіцієнт при $x$ додатний, то на крайньому правому проміжку «$+$»; через точку знак змінюється, якщо множник у непарному степені, і не змінюється, якщо в парному (або за пробною точкою на кожному проміжку);

4) відповідь — проміжки з потрібним знаком, а в нестрогій нерівності — ще й зафарбовані точки.

Підручник 10 кл., п. 5 НМТ № 4

Метод інтервалів: приклад

$\dfrac{(x+1)(x-2)^2}{x-4}\ge0$. Нулі чисельника $-1$ і $2$ — зафарбовані; нуль знаменника $4$ — порожній. Праворуч від $4$ — «$+$»; через $4$ і $-1$ знак змінюється, через $2$ (множник $(x-2)^2$) — ні.

Відповідь: $(-\infty;\,-1]\cup\{2\}\cup(4;\,+\infty)$ (точку $2$ легко загубити).

Множник без нулів, який завжди додатний (наприклад, $x^2+1$), на знак не впливає.

Множник виду $p-x$ запиши як $-(x-p)$ і зміни знак нерівності: $\frac{3-x}{x+1}\ge0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x-3}{x+1}\le0$.

Підручник 10 кл., п. 5 НМТ № 4

Арифметична прогресія

Послідовність $(a_n)$: $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots$; її задають формулою $n$-го члена ($a_n=2n-1$: $1,\,3,\,5,\,\ldots$) або рекурентно ($a_1=1$, $a_{n+1}=3a_n$: $1,\,3,\,9,\,\ldots$).

Арифметична прогресія: кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число $d$ — різницю прогресії:

$a_n=a_1+d(n-1)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Кожний член, крім першого (і останнього у скінченній прогресії), — середнє арифметичне сусідніх:

Зв’язок двох членів: $a_m=a_k+d(m-k)$.

Приклад: $a_1=2$, $d=5$: $2,\ 7,\ 12,\ \ldots$; $a_{10}=2+5\cdot9=47$; $S_{10}=\frac{2+47}{2}\cdot10=245$.

Підручник 9 кл., п. 15–17 НМТ № 12

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія: перший член $b_1\ne0$, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число $q\ne0$ — знаменник прогресії (тому всі члени відмінні від нуля):

$b_n=b_1q^{n-1}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, $q\ne1$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Якщо $q=1$, то всі члени рівні $b_1$ і $S_n=nb_1$.

Квадрат кожного члена, крім першого (і останнього у скінченній прогресії), дорівнює добутку сусідніх: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.

Зв’язок двох членів: $b_m=b_k\cdot q^{m-k}$.

Приклад: $b_1=3$, $q=2$: $3,\ 6,\ 12,\ \ldots$; $b_5=3\cdot2^4=48$; $S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93$.

Підручник 9 кл., п. 18, 19 НМТ № 12