Комбінаторика, ймовірність, статистика

Правила суми й добутку

Правило суми: якщо елемент $a$ можна вибрати $m$ способами, а елемент $b$ — $k$ способами (спільних варіантів немає), то вибір «$a$ або $b$» можна здійснити $m+k$ способами.

Правило добутку: якщо елемент $a$ можна вибрати $m$ способами і після кожного такого вибору елемент $b$ можна вибрати $k$ способами, то вибір «$a$ і $b$» у вказаному порядку, тобто пари $(a;\,b)$, можна здійснити $mk$ способами. Для трьох елементів ($c$ — $n$ способами) — $mkn$ способів і т. д.

Приклад: з $A$ до $B$ через $M$ можна проїхати $3\cdot2=6$ способами, через $N$ — $4\cdot3=12$ способами; усього $6+12=18$ способів.

Приклад: двоцифрових чисел з різними цифрами — $9\cdot9=81$ (перша цифра — будь-яка, крім 0; друга — будь-яка, крім першої).

Підручник 5 кл., п. 24; 9 кл., п. 21; 11 кл., п. 13 НМТ № 20

Перестановки

Перестановка скінченної множини $M$ — будь-яка впорядкована множина, утворена з усіх елементів множини $M$. Перестановки різняться лише порядком елементів.

$n!$ («ен факторіал») — добуток усіх натуральних чисел від 1 до $n$; за означенням $0!=1$.

$n!=(n-1)!\cdot n$ ($n\in\mathbb N$), тому $\dfrac{8!}{6!}=7\cdot8=56$.

Перестановки множини $\{a,\,b,\,c\}$: $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$ — $P_3=3!=6$.

Приклад: 4 різні книжки на полиці можна розставити $P_4=4!=24$ способами.

Підручник 11 кл., п. 13, 14 НМТ № 20

Розміщення

Розміщення з $n$ елементів по $k$ — будь-яка $k$-елементна впорядкована підмножина даної $n$-елементної множини ($0\le k\le n$).

Розміщення з $\{a,\,b,\,c\}$ по 2: $ab$, $ba$, $ac$, $ca$, $bc$, $cb$ — $A_3^2=3\cdot2=6$.

Приклад: голову й секретаря з 10 осіб можна вибрати $A_{10}^2=10\cdot9=90$ способами.

Підручник 11 кл., п. 14 НМТ № 20

Комбінації (сполуки)

Сполука (комбінація) з $n$ елементів по $k$ — будь-яка $k$-елементна підмножина заданої $n$-елементної множини ($0\le k\le n$); порядок елементів не враховують.

$C_n^k=C_n^{n-k}$;  $C_n^0=C_n^n=1$;  $C_n^1=n$.

Комбінації з $\{a,\,b,\,c\}$ по 2: $\{a,\,b\}$, $\{a,\,c\}$, $\{b,\,c\}$ — $C_3^2=3$.

Приклад: трьох учнів з 8 можна вибрати $C_8^3=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=56$ способами.

Підручник 11 кл., п. 14 НМТ № 20

Як вибрати формулу

Порядок важливий, якщо обмін двох вибраних елементів місцями дає новий варіант: посади, призові місця, черга, цифри числа. Неважливий — коли вибирають групу: команду, делегацію, набір.

Приклад: з 5 учнів старосту та його заступника можна вибрати $A_5^2=5\cdot4=20$ способами, а двох чергових — $C_5^2=\frac{5\cdot4}{1\cdot2}=10$ способами.

Якщо елементи можуть повторюватися (цифри коду), рахують за правилом добутку: кодів із 4 цифр — $10^4$.

Підручник 5 кл., п. 24; 11 кл., п. 13, 14 НМТ № 20

Типові задачі з комбінаторики

• Числа з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, усі цифри різні: трицифрових — $5\cdot5\cdot4=100$ (на першому місці не 0).

• 8 команд, кожна з кожною грає один матч: $C_8^2=\frac{8\cdot7}{2}=28$ матчів; двічі (удома й на виїзді) — $A_8^2=8\cdot7=56$ матчів.

• $n$ точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій: відрізків з кінцями в цих точках — $C_n^2$, трикутників з вершинами в них — $C_n^3$.

• Двох хлопців з 6 і одну дівчину з 4 можна вибрати $C_6^2\cdot C_4^1=15\cdot4=60$ способами (правило добутку).

• 5 осіб стають у чергу, $X$ і $Y$ — поруч: пару вважаємо одним елементом, усередині пари 2 порядки: $4!\cdot2!=48$ способів.

Підручник 9 кл., п. 21; 11 кл., п. 13, 14 НМТ № 20

Випадкові події

Випадкова подія — результат досліду (випробування), який може відбутися, а може й не відбутися. Достовірна (вірогідна) подія обов’язково відбудеться, її ймовірність дорівнює 1; неможлива подія не може відбутися, її ймовірність дорівнює 0.

Рівноможливі результати — жоден з них не має переваг (грані кубика, сторони монети, кулі чи картки, узяті навмання).

Доповнення події $A$ (протилежна подія) — подія $\bar A$, яка відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається $A$ ($\Omega$ — усі результати досліду).

Приклад: монету підкидають двічі (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ); $P(\text{хоча б один герб})=1-P(\text{ЧЧ})=1-\frac14=\frac34$.

Підручник 9 кл., п. 22, 23; 11 кл., п. 15 НМТ № 7, 20

Класичне означення ймовірності

Якщо випробування може закінчитися одним з $n$ рівноможливих результатів, з яких $m$ приводять до настання події $A$ (сприятливі результати), то

У довідці НМТ: $P(A)=\frac kn$. Завжди $0\le P(A)\le1$, бо $0\le m\le n$. Якщо результати не рівноможливі, класичне означення застосовувати не можна.

Приклади: монета — $P(\text{герб})=\frac12$; кубик — $P(\text{більше ніж 4 очки})=\frac26=\frac13$; картки з числами від 1 до 20 — $P(\text{число, кратне 4})=\frac5{20}=\frac14$.

Відносна частота події — відношення кількості її появ до кількості випробувань (у підручнику 9 кл. — «частота»); за великої кількості випробувань вона близька до ймовірності.

Підручник 9 кл., п. 22, 23; 11 кл., п. 15 НМТ № 7, 20

Два гральні кубики

Кидають два кубики: $n=6\cdot6=36$ рівноможливих результатів — пар очок (перший; другий). У таблиці — суми очок.

Сума 4: $(1;\,3)$, $(2;\,2)$, $(3;\,1)$;

$P=\dfrac3{36}=\dfrac1{12}$.

Кубики розрізняють: $(1;\,3)$ і $(3;\,1)$ — різні результати. Суми очок не рівноможливі.

Підручник 9 кл., п. 23 НМТ № 7, 20

Типові задачі на ймовірність

• $k$ монет (або $k$ підкидань однієї): $n=2^k$ результатів; $k$ кубиків: $n=6^k$ (правило добутку). Три монети: $n=8$; $P(\text{усі три однакові})=\frac28=\frac14$.

• Навмання вибирають двоцифрове число (їх 90: від 10 до 99): $P(\text{кратне 15})=\frac6{90}=\frac1{15}$ (15, 30, 45, 60, 75, 90).

• У коробці 6 білих і кілька чорних куль, $P(\text{біла})=\frac38$. Усього куль $6:\frac38=16$, чорних $16-6=10$.

• Ймовірність часто записують у відсотках: $\frac14=0{,}25=25\,\%$.

Підручник 9 кл., п. 21, 23 НМТ № 7, 20

Ймовірність і комбінаторика

Якщо результат досліду — вибір кількох елементів, то $n$ і $m$ рахують за формулами комбінаторики. $n$ і $m$ рахують однаково: обидва з урахуванням порядку або обидва без.

Приклад: у коробці 3 червоні й 5 синіх куль, навмання беруть 2 кулі. Усього $n=C_8^2=28$ результатів.

Обидві червоні: $m=C_3^2=3$, $P=\frac3{28}$.

Обидві сині: $m=C_5^2=10$, $P=\frac{10}{28}=\frac5{14}$.

Хоча б одна червона: $P=1-\frac5{14}=\frac9{14}$.

Приклад: з чотирьох карток з цифрами 1, 2, 3, 4 навмання беруть дві й кладуть поруч. Двоцифрових чисел $n=A_4^2=12$, з них парних $m=2\cdot3=6$ (на кінці 2 або 4, спереду — одна з трьох інших); $P=\frac6{12}=\frac12$.

Підручник 9 кл., п. 23; 11 кл., п. 14, 15 НМТ № 20

Вибірка, частота, відносна частота

Вибірка — сукупність зібраних даних, на основі яких проводять дослідження. Частота значення — скільки разів воно трапляється у вибірці; відносна частота — відношення частоти до кількості даних.

Приклад: скільки книжок прочитали 10 учнів.

Сума частот — 10, сума відносних частот — 100 %. Ймовірність, що навмання вибраний з цих учнів прочитав 2 книжки, дорівнює відносній частоті: $\frac4{10}=40\,\%$.

Підручник 9 кл., п. 24; 11 кл., п. 20 НМТ № 1

Середнє значення, розмах, мода, медіана

Середнє значення вибірки з числових даних $x_1$, $x_2$, …, $x_n$:

Розмах — різниця між найбільшим і найменшим значеннями даних.

Мода — те з даних, яке трапляється найчастіше; якщо таких кілька, кожне з них — мода. Моду знаходять і для нечислових даних (розмір одягу, улюблений предмет).

Медіана: дані впорядковують ($x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$). Якщо $n$ непарне, медіана — те з даних, що стоїть посередині; якщо $n$ парне — середнє арифметичне двох даних посередині: $\dfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}$.

Приклад: 7, 3, 9, 1, 4, 8, 3 $\to$ 1, 3, 3, 4, 7, 8, 9 (7 даних):

$\bar x=\frac{35}7=5$; розмах $9-1=8$; мода 3; медіана 4.

За таблицею частот (вище), 10 даних: $\bar x=\frac{1\cdot1+2\cdot4+3\cdot3+4\cdot2}{10}=2{,}6$ (ділимо на суму частот); розмах $4-1=3$; мода 2; медіана — середнє арифметичне 5-го і 6-го з упорядкованих даних: $\frac{2+3}{2}=2{,}5$.

Підручник 5 кл., п. 36; 9 кл., п. 24; 11 кл., п. 20 НМТ № 1

Середнє значення: корисно знати

Сума всіх даних дорівнює $\bar x\cdot n$. Приклад: середнє чотирьох чисел — 7, три з них 5, 6 і 9; тоді четверте $4\cdot7-(5+6+9)=8$.

Середня швидкість — весь шлях, поділений на весь час: 2 год по 60 км/год і 1 год по 90 км/год — $\frac{120+90}{3}=70$ км/год (а не $\frac{60+90}{2}=75$).

Дуже великі чи дуже малі значення сильно змінюють середнє, а медіану — ні; тоді медіана краще описує «типове» значення.

Підручник 5 кл., п. 36; 9 кл., п. 24 НМТ № 1

Таблиці й діаграми

Дані подають текстом, таблицею (як вище), діаграмою або графіком.

стовпчаста діаграма

кругова діаграма

Обидві діаграми — за таблицею частот вище (сектор $40\,\%$ — учні, які прочитали 2 книжки).

Стовпчаста діаграма (гістограма): висота стовпчика — значення величини (тут — частота). Зважайте на поділки осі.

Кругова діаграма: круг — уся величина (100 %), сектор — її частина. Кут сектора дорівнює частці, помноженій на $360^\circ$; $1\,\%$ — це $3{,}6^\circ$. Сектор $40\,\%$: $0{,}4\cdot360^\circ=144^\circ$. Навпаки, сектор $72^\circ$ — це $\frac{72}{360}=\frac15=20\,\%$. Якщо ціле — 300 учнів, то $40\,\%$ — це $0{,}4\cdot300=120$ учнів.

Підручник 6 кл., п. 26; 9 кл., п. 24 НМТ № 1

Графік

Графік показує, як величина змінюється з часом: точки (час; значення), сполучені лінією. Тут найвища температура — 10 °C о 16 год.

З 4 до 16 год температура зростала, з 0 до 4 і з 16 до 24 год — знижувалася. Середня температура за сімома вимірюваннями: $\frac{2+1+3+8+10+7+4}{7}=\frac{35}{7}=5$ (°C); розмах $10-1=9$ (°C).

Стовпчасті діаграми й графіки зручні, щоб показати зміну величини з часом; кругові — щоб порівняти частини цілого.

Підручник 6 кл., п. 26, 44; 9 кл., п. 24 НМТ № 1