Планіметрія: формули та властивості

Аксіоми і кути

Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Через точку, що не лежить на прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$. Вертикальні кути рівні.

Бісектриса ділить кут навпіл; кожна її точка рівновіддалена від сторін кута.

Підручник 7 кл., п. 1, 3, 4, 6, 20 НМТ № 2–3

Паралельні прямі й січна

$a\parallel b$, $c$ — січна:

$\angle1=\angle2$ — різносторонні

$\angle3=\angle2$ — відповідні

$\angle1+\angle4=180^\circ$ — односторонні

Ознаки паралельності: якщо виконується хоча б одна з цих рівностей, то $a\parallel b$. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Підручник 7 кл., п. 13–15 НМТ № 2–3

Перпендикуляр і похила

$AB\perp a$: $AB$ — перпендикуляр, $AC$ — похила, $BC$ — її проєкція; $AB<AC$.

Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра.

Відстань між паралельними прямими — відстань від будь-якої точки однієї з них до другої.

Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від його кінців.

Підручник 7 кл., п. 5, 15, 19, 20

Сторони й кути

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$p=\dfrac{a+b+c}{2}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

(півпериметр)

$a<b+c$ — нерівність трикутника (виконується для кожної сторони)

Зовнішній кут дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.

Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

Підручник 7 кл., п. 16, 17 НМТ № 2–3, 10

Ознаки рівності трикутників

Трикутники рівні, якщо в них відповідно рівні:

1) дві сторони й кут між ними

2) сторона й два прилеглі до неї кути

3) три сторони

Прямокутні трикутники рівні також: за двома катетами; за катетом і прилеглим (або протилежним) гострим кутом; за гіпотенузою й гострим кутом; за гіпотенузою й катетом.

Підручник 7 кл., п. 8, 11, 18

Медіани, бісектриса, висоти

$BM:MB_1=2:1$

$AL:LC=AB:BC$

Медіани перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.

Бісектриса ділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

Прямі, які містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Підручник 7 кл., п. 7; 8 кл., п. 2, 11; 9 кл., п. 2 НМТ № 10

Середня лінія трикутника

Сполучає середини двох сторін:

$MN\parallel AC$, $MN=\dfrac12\,AC$

Підручник 8 кл., п. 7

Рівнобедрений і рівносторонній трикутники

Рівнобедрений: кути при основі рівні; бісектриса, проведена до основи, є медіаною й висотою.

Ознаки: два кути рівні; медіана є висотою; бісектриса є висотою; медіана є бісектрисою.

Рівносторонній зі стороною $a$ (усі кути по $60^\circ$):

Підручник 7 кл., п. 9, 10; 9 кл., п. 6 НМТ № 10

Сторони й кути

$c^2=a^2+b^2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

(теорема Піфагора)

$\sin\alpha=\dfrac ac$, $\cos\alpha=\dfrac bc$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\tg\alpha=\dfrac ab$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$a=c\sin\alpha=c\cos\beta$,  $b=c\cos\alpha$

$a=b\tg\alpha$,  $c=\dfrac{a}{\sin\alpha}$,  $\alpha+\beta=90^\circ$

Підручник 8 кл., п. 16–18 НМТ № 2, 15, 18

Площа, радіуси $R$ і $r$, властивості

Катет, що лежить проти кута $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи. Центр описаного кола — середина гіпотенузи; медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Часто трапляються сторони 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 (і кратні їм).

Підручник 7 кл., п. 19, 22; 8 кл., п. 22 НМТ № 15

Висота, проведена до гіпотенузи

$a_c$, $b_c$ — проєкції катетів $a$ і $b$ на гіпотенузу $c$:

$h^2=a_c\cdot b_c$

$a^2=c\cdot a_c$, $b^2=c\cdot b_c$

$h=\dfrac{ab}{c}$

Підручник 8 кл., п. 15

Означення й основні формули

$M$ — точка одиничного півкола: $\cos\alpha$ — її абсциса, $\sin\alpha$ — ордината.Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Якщо кут $\alpha$ тупий: $\sin\alpha>0$, $\cos\alpha<0$, $\tg\alpha<0$.

$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$

$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Підручник 8 кл., п. 17; 9 кл., п. 1 НМТ № 13–15, 17

Значення для деяких кутів

Кути $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ є в довідці НМТД (є в довідкових матеріалах НМТ); значення для $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$ отримують за формулами для $180^\circ-\alpha$.

Підручник 8 кл., п. 17; 9 кл., п. 1 НМТ № 17

Теорема косинусів

Кут $\alpha$ лежить проти сторони $a$, тобто між сторонами $b$ і $c$.

Якщо $a$ — найбільша сторона: $a^2<b^2+c^2$ — трикутник гострокутний; $a^2=b^2+c^2$ — прямокутний; $a^2>b^2+c^2$ — тупокутний.

Підручник 9 кл., п. 2, 4 НМТ № 13–15

Теорема синусів

Звідси $a=2R\sin\alpha$: хорда кола дорівнює добутку діаметра на синус вписаного кута, що спирається на цю хорду.

Підручник 9 кл., п. 3, 4 НМТ № 13–15

Площа трикутника

$S=\dfrac12\,a\,h_a$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $S=\dfrac12\,ab\sin\gamma$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) (формула Герона; $p$ — півпериметр)

$S=pr$  $S=\dfrac{abc}{4R}$

Підручник 8 кл., п. 22; 9 кл., п. 5 НМТ № 10, 13–15

Описане й вписане кола трикутника

$R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$

$r=\dfrac Sp$

Центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів сторін; центр вписаного — точка перетину бісектрис. Центр описаного кола гострокутного трикутника лежить усередині нього, прямокутного — на середині гіпотенузи, тупокутного — поза трикутником.

Підручник 7 кл., п. 22; 9 кл., п. 3, 5 НМТ № 10

Теорема Фалеса й пропорційні відрізки

Якщо паралельні прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки, то й на другій стороні вони відтинають рівні відрізки.

Теорема про пропорційні відрізки: якщо $AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$, то $AB:BC=A_1B_1:B_1C_1$.

Підручник 8 кл., п. 11 НМТ № 18

Подібні трикутники

Трикутники подібні, якщо:

1) два кути одного дорівнюють двом кутам другого

2) дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого, а кути між ними рівні

3) три сторони одного пропорційні трьом сторонам другого

$k$ — коефіцієнт подібності. Відношення площ подібних фігур дорівнює $k^2$; відношення відповідних висот, медіан, бісектрис дорівнює $k$.

Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

Підручник 8 кл., п. 12–14; 9 кл., п. 20 НМТ № 18

Будь-який чотирикутник

Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$.

Опуклий чотирикутник: $S=\dfrac12\,d_1d_2\sin\varphi$ ($\varphi$ — кут між діагоналями)

Підручник 8 кл., п. 1; 9 кл., п. 5

Паралелограм

$S=a\,h_a$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S=ab\sin\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

($d_1$, $d_2$ — діагоналі)

Властивості: протилежні сторони рівні; протилежні кути рівні; діагоналі точкою перетину діляться навпіл; сума кутів, прилеглих до однієї сторони, — $180^\circ$.

Ознаки: чотирикутник — паралелограм, якщо його протилежні сторони попарно рівні, або дві протилежні сторони рівні й паралельні, або діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник.

Підручник 8 кл., п. 2, 3, 21; 9 кл., п. 2, 5 НМТ № 2, 10, 13–15

Прямокутник, ромб, квадрат

Ромб: діагоналі $d_1=AC$ і $d_2=BD$ перпендикулярні й ділять його кути навпіл.

$S=\dfrac12\,d_1d_2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S=ah=a^2\sin\alpha$, $r=\dfrac h2$

($\alpha$ — кут ромба, $h$ — висота)

Прямокутник: діагоналі рівні; $d^2=a^2+b^2$; $S=ab$Д (є в довідкових матеріалах НМТ); $R=\dfrac d2$.

Квадрат: $d=a\sqrt2$; $S=a^2=\dfrac{d^2}{2}$; $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$; $r=\dfrac a2$.

Паралелограм з прямим кутом або з рівними діагоналями — прямокутник; з перпендикулярними діагоналями або з діагоналлю, що є бісектрисою кута, — ромб.

Підручник 8 кл., п. 4–6, 20–22 НМТ № 10, 15, 18

Трапеція

$a\parallel b$ — основи, $m$ — середня лінія:

$m=\dfrac{a+b}{2}$, $m\parallel a$

$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$S=m\cdot h$

Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює $180^\circ$.

Рівнобічна трапеція: кути при кожній основі рівні, діагоналі рівні; висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки $\dfrac{a-b}{2}$ і $\dfrac{a+b}{2}$.

Підручник 8 кл., п. 8, 23 НМТ № 3, 13–15, 18

Вписаний і описаний чотирикутники

Вписаний у коло: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ$ (і навпаки). Тому з трапецій у коло можна вписати лише рівнобічну, а з паралелограмів — лише прямокутник.

Описаний навколо кола: $AB+CD=BC+AD$ (і навпаки, для опуклого); $S=pr$. Для описаної трапеції сума основ дорівнює сумі бічних сторін, а $h=2r$.

Підручник 8 кл., п. 10 НМТ № 10

Опуклий многокутник

Сума кутів $n$-кутника: $180^\circ(n-2)$. Сума зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, — $360^\circ$.

Кількість діагоналей: $\dfrac{n(n-3)}{2}$. Периметр $P$ — сума довжин усіх сторін.

Площа многокутника, описаного навколо кола: $S=pr$.

Підручник 8 кл., п. 19

Правильний многокутник

Усі сторони рівні й усі кути рівні; центри вписаного й описаного кіл збігаються.

Кут: $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$

Центральний кут: $\dfrac{360^\circ}{n}$

Підручник 9 кл., п. 6

Хорди й дотичні

$d=2R$.

Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику: $OA\perp PA$.

Відрізки дотичних з однієї точки рівні: $PA=PB$.

Підручник 7 кл., п. 21 НМТ № 10

Центральні й вписані кути

Центральний кут дорівнює дузі, на яку спирається:

$\angle AOC=\arc{AC}$ (дуга AC)

Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається:

$\angle ABC=\dfrac12\arc{AC}=\dfrac12\angle AOC$ (дуга AC)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий.

Кут між дотичною і хордою, проведеною в точку дотику, дорівнює половині дуги, що лежить усередині цього кута.

Підручник 8 кл., п. 9 НМТ № 2, 10

Хорди, дотична і січна

$AM\cdot MB=CM\cdot MD$

$AM^2=AB\cdot AC$

Ліворуч — хорди, що перетинаються; праворуч — дотична $AM$ і січна $ABC$.

Підручник 8 кл., п. 13 НМТ № 10

Довжина кола, площа круга

$C=2\pi R$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — довжина кола

$l=\dfrac{\pi Rn}{180}$ — довжина дуги в $n^\circ$

$S=\pi R^2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — площа круга

$S=\dfrac{\pi R^2n}{360}$ — площа сектора

Площа сегмента: $S_{\text{сегм}}=S_{\sect}-S_{\triangle AOB}$, якщо дуга менша від $180^\circ$, і $S_{\text{сегм}}=S_{\sect}+S_{\triangle AOB}$, якщо більша.

Радіанна міра: $\pi$ рад $=180^\circ$. Для кута $\alpha$ у радіанах: $l=R\alpha$, $S_{\sect}=\dfrac12R^2\alpha$.

Підручник 9 кл., п. 7 НМТ № 15

Координати й дії

$A(x_1;\,y_1)$, $B(x_2;\,y_2)$: $\vect{AB}\,(x_2-x_1;\ y_2-y_1)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\vec a\,(a_1;\,a_2)$: $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\vec a+\vec b\,(a_1+b_1;\ a_2+b_2)$, $\vec a-\vec b\,(a_1-b_1;\ a_2-b_2)$, $k\vec a\,(ka_1;\ ka_2)$

Нульовий вектор $\vec 0\,(0;\,0)$. Протилежні вектори мають рівні модулі й протилежні напрями.

$\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}$

$\vect{AB}+\vect{AD}=\vect{AC}$

Ліворуч — правило трикутника, праворуч — правило паралелограма.

$\vect{OA}-\vect{OB}=\vect{BA}$,  $\vect{AB}=-\vect{BA}$

Колінеарні вектори ($\vec a\ne\vec 0$): $\vec b=k\vec a$ $\Leftrightarrow$ $b_1=ka_1$, $b_2=ka_2$ (координати пропорційні). Рівні вектори мають рівні координати.

Якщо $\vec a$ і $\vec b$ неколінеарні, то будь-який вектор можна єдиним чином подати у вигляді $\vec c=x\vec a+y\vec b$.

$M$ — середина відрізка $AB$: $\vect{OM}=\dfrac12\bigl(\vect{OA}+\vect{OB}\bigr)$.

Підручник 9 кл., п. 12–15 НМТ № 8

Скалярний добуток

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Для ненульових векторів: $\vec a\perp\vec b$ $\Leftrightarrow$ $\vec a\cdot\vec b=0$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_1+a_2b_2=0$.

Якщо $\vec a\cdot\vec b<0$, кут між векторами тупий або розгорнутий ($180^\circ$, коли вектори протилежно напрямлені).

Властивості: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$; $(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$; $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$.

Підручник 9 кл., п. 16 НМТ № 8