Степені, корені, логарифми

Степінь з натуральним і цілим показником

$a^1=a$, $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{множників}}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($a\in\mathbb R$, $n\in\mathbb N$, $n\ge2$)

$a^0=1$, $a\ne0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$, $a\ne0$, $n\in\mathbb N$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\left(\dfrac ab\right)^{-n}=\left(\dfrac ba\right)^{n}$ ($a\ne0$, $b\ne0$); вирази $0^0$ і $0^{-n}$ не мають змісту.

Парний степінь будь-якого числа невід’ємний: $(-a)^{2k}=a^{2k}$; непарний степінь зберігає знак основи: $(-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}$.

Приклади: $2^{-3}=\frac18$; $\left(\frac23\right)^{-2}=\frac94$; $(-1)^{2027}=-1$; $(-3)^4=81$, але $-3^4=-81$.

Підручник 8 кл., п. 8, 9; 10 кл., п. 12 НМТ № 4, 9, 17

Степінь з раціональним і дійсним показником

$0^{\frac mn}=0$ ($m,\,n\in\mathbb N$); вираз $0^{-\frac12}$ не має змісту. Для $a<0$ дробовий степінь не означають: $(-8)^{\frac13}$ не має змісту, хоча $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Приклади: $8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=4$; $81^{-0{,}25}=\dfrac1{\sqrt[4]{81}}=\dfrac13$; $\sqrt[5]{a^3}=a^{\frac35}$ ($a>0$).

Для $a>0$ означено степінь $a^x$ з будь-яким дійсним показником (наприклад, $2^{\sqrt3}$); $1^x=1$; $0^x=0$ при $x>0$.

Підручник 10 кл., п. 12; 11 кл., п. 1 НМТ № 9, 17

Властивості степенів

Для будь-яких дійсних $x$, $y$ — при $a>0$, $b>0$; для цілих $x$, $y$ — при $a\ne0$, $b\ne0$.

Приклади: $\dfrac{3^7\cdot9^{-2}}{27}=\dfrac{3^7\cdot3^{-4}}{3^3}=3^0=1$; $a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac56}$; $\bigl(2^{\sqrt2}\bigr)^{\sqrt2}=2^2=4$.

Підручник 8 кл., п. 9; 10 кл., п. 12; 11 кл., п. 1 НМТ № 4, 9, 17

Порівняння степенів

Однакові основи: при $a>1$ більшому показнику відповідає більший степінь, при $0<a<1$ — менший: $2^{\sqrt3}<2^{1{,}8}$; $0{,}3^{-2}>0{,}3^{-1}$; $0{,}3^{-\pi}>0{,}3^0=1$.

Однакові показники ($0<a<b$): $a^r<b^r$ при $r>0$; $a^r>b^r$ при $r<0$.

Інакше — до спільного показника: $\bigl(2^{0{,}3}\bigr)^{10}=8<9=\bigl(3^{0{,}2}\bigr)^{10}$, тож $2^{0{,}3}<3^{0{,}2}$.

Підручник 10 кл., п. 8, 9; 11 кл., п. 1 НМТ № 17

Степенева функція $y=x^n$, $n\in\mathbb N$

$n$ — парне

$n$ — непарне, $n>1$

$D(y)=\mathbb R$; нуль функції $x=0$; графік проходить через точку $(1;\,1)$.

• $n$ парне: $E(y)=[0;\,+\infty)$; функція парна; спадає на $(-\infty;\,0]$, зростає на $[0;\,+\infty)$.

• $n$ непарне: $E(y)=\mathbb R$; функція непарна; зростає. При $n=1$ — пряма $y=x$.

Підручник 10 кл., п. 8 НМТ № 16

Степенева функція $y=x^{-n}$, $n\in\mathbb N$

$n$ — парне

$n$ — непарне

$D(y)=(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$; нулів немає; осі координат — асимптоти графіка; графік проходить через точку $(1;\,1)$.

• $n$ парне: $E(y)=(0;\,+\infty)$; функція парна; зростає на $(-\infty;\,0)$, спадає на $(0;\,+\infty)$.

• $n$ непарне: $E(y)=(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$; функція непарна; спадає на кожному з проміжків $(-\infty;\,0)$ і $(0;\,+\infty)$ (але не на всій області визначення).

$y=x^0$: $D(y)=(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$, $E(y)=\{1\}$ — пряма $y=1$ без точки $(0;\,1)$.

Підручник 10 кл., п. 9 НМТ № 16

Корінь $n$-го степеня

Коренем $n$-го степеня з числа $a$ ($n\in\mathbb N$, $n>1$) називають таке число, $n$-й степінь якого дорівнює $a$.

Арифметичним коренем $n$-го степеня з невід’ємного числа $a$ називають таке невід’ємне число, $n$-й степінь якого дорівнює $a$. Позначення: $\sqrt[n]a$.

• $n$ непарне: корінь існує з будь-якого числа, і тільки один: $\sqrt[3]{-8}=-2$; $\sqrt[2k+1]{-a}=-\sqrt[2k+1]a$.

• $n$ парне: при $a<0$ кореня не існує; при $a=0$ він дорівнює 0; при $a>0$ їх два — протилежні числа $\sqrt[n]a$ і $-\sqrt[n]a$. Запис $\sqrt[2k]a$ означає лише арифметичний корінь: $\sqrt[4]{16}=2$.

$\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$ ($a\ge0$; для непарного $n$ — будь-яке $a$); $\sqrt[n]a\ge0$ при $a\ge0$.

Підручник 10 кл., п. 10 НМТ № 9, 17

Властивості коренів

Для $a\ge0$, $b\ge0$ і $n,\,k\in\mathbb N$, $n>1$:

Для будь-якого $a$: $\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$, $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a$.

Якщо $a\le0$ і $b\le0$, то $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{-a}\cdot\sqrt[n]{-b}$.

Приклади: $\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]4=\sqrt[3]8=2$; $\sqrt[6]{(-2)^6}=\lvert-2\rvert=2$; $\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[3]{|a|}$; $\sqrt[4]{\bigl(1-\sqrt2\bigr)^4}=\bigl|1-\sqrt2\bigr|=\sqrt2-1$.

Підручник 10 кл., п. 11 НМТ № 9, 17

Перетворення виразів з коренями

Винесення множника з-під знака кореня: $\sqrt[n]{a^nb}=a\sqrt[n]b$ ($a\ge0$, $b\ge0$); $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$ ($b\ge0$); $\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]2$.

Внесення множника під знак кореня: $a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{a^nb}$ ($a\ge0$, $b\ge0$); при $a<0$: $a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}$; $-2\sqrt[4]3=-\sqrt[4]{48}$.

Звільнення від ірраціональності в знаменнику:

($a>0$, $b\ge0$, $a\ne b$; множимо на спряжений вираз, бо $\bigl(\sqrt a-\sqrt b\bigr)\bigl(\sqrt a+\sqrt b\bigr)=a-b$).

Скорочення дробів ($a\ge0$, $b\ge0$, $a+b>0$): $\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\bigl(\sqrt a-\sqrt b\bigr)\bigl(\sqrt a+\sqrt b\bigr)}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b$.

Повний квадрат під коренем: $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt{\bigl(\sqrt2-1\bigr)^2}=\bigl|\sqrt2-1\bigr|=\sqrt2-1$.

Порівняння: якщо $0\le a<b$, то $\sqrt[n]a<\sqrt[n]b$. Корені з різними показниками зводимо до спільного показника: $\sqrt[3]3=\sqrt[6]9>\sqrt[6]8=\sqrt2$.

Підручник 8 кл., п. 16; 10 кл., п. 11 НМТ № 9, 17

Функція $y=\sqrt[n]x$

$n$ — парне

$n$ — непарне

• $n$ парне: $D(y)=E(y)=[0;\,+\infty)$; функція ні парна, ні непарна; зростає.

• $n$ непарне: $D(y)=E(y)=\mathbb R$; функція непарна; зростає.

Функція $y=\sqrt[n]x$ обернена до $y=x^n$ (для парного $n$ — до $y=x^n$, $x\ge0$); їхні графіки симетричні відносно прямої $y=x$.

Рівняння $x^n=a$: $n$ непарне — $x=\sqrt[n]a$; $n$ парне і $a>0$ — $x=\pm\sqrt[n]a$; $a=0$ — $x=0$; $n$ парне і $a<0$ — коренів немає.

Функція $y=x^{\frac mn}$ ($\frac mn$ — нескоротний дріб, $n>1$): $D(y)=[0;\,+\infty)$, якщо $\frac mn>0$; $D(y)=(0;\,+\infty)$, якщо $\frac mn<0$.

Підручник 10 кл., п. 10, 12 НМТ № 16

Ірраціональні рівняння: піднесення до степеня

Ірраціональними називають рівняння, які містять змінну під знаком кореня. Основний метод — піднесення обох частин рівняння до степеня.

• До непарного степеня — отримуємо рівняння, рівносильне даному:

• До парного степеня — отримуємо рівняння-наслідок: можуть з’явитися сторонні корені. Їх відкидають перевіркою або одразу переходять до рівносильної системи:

У другій системі замість $f(x)\ge0$ можна взяти $g(x)\ge0$ — ту нерівність, яку легше розв’язати.

Приклад: $\sqrt{4+3x}=x$; $4+3x=x^2$; $x_1=-1$, $x_2=4$. Перевірка: $-1$ — сторонній корінь. Відповідь: 4.

Підручник 10 кл., п. 13

Ірраціональні рівняння: інші прийоми

Спершу корисно знайти ОДЗ: рівняння $\sqrt{x-3}=\sqrt{1-x}$ коренів не має, бо умови $x\ge3$ і $x\le1$ несумісні.

Якщо на множині $M$ обидві частини рівняння невід’ємні, то піднесення до квадрата дає рівняння, рівносильне даному на $M$.

Заміна змінної: $x-5\sqrt x+6=0$; $t=\sqrt x\ge0$; $t^2-5t+6=0$; $t=2$ або $t=3$; $x=4$ або $x=9$.

Добуток дорівнює нулю:

Наприклад, $(x+2)\sqrt{x-1}=0$ має лише корінь 1.

Підручник 10 кл., п. 13, 14

Ірраціональні нерівності

Нестрогі нерівності — так само, лише знак між $f$ і $g$ (чи $(g(x))^2$) нестрогий, а в другій схемі $g(x)\ge0$.

Найпростіші ($a>0$): $\sqrt{f(x)}<a\ \Leftrightarrow\ 0\le f(x)<a^2$; $\sqrt{f(x)}>a\ \Leftrightarrow\ f(x)>a^2$.

Приклад: $\sqrt{x-2}<1$; $0\le x-2<1$; $x\in[2;\,3)$.

Підручник 10 кл., п. 10, 15

Показникова функція $y=a^x$ ($a>0$, $a\ne1$)

$a>1$

$0<a<1$

$D(y)=\mathbb R$, $E(y)=(0;\,+\infty)$; нулів немає ($a^x>0$); графік проходить через точки $(0;\,1)$ і $(1;\,a)$; пряма $y=0$ — асимптота.

• $a>1$: функція зростає; $a^{x_1}>a^{x_2}\ \Leftrightarrow\ x_1>x_2$.

• $0<a<1$: функція спадає; $a^{x_1}>a^{x_2}\ \Leftrightarrow\ x_1<x_2$.

$e=2{,}71828\ldots$ — ірраціональне число; $y=e^x$ — експонента (зростає, бо $e>1$).

Графік $y=a^{x-m}+n$ отримують з графіка $y=a^x$ паралельним перенесенням на вектор $(m;\,n)$; його асимптота — пряма $y=n$.

Підручник 11 кл., п. 1, 8 НМТ № 16

Означення логарифма

Логарифмом додатного числа $b$ з основою $a$, де $a>0$ і $a\ne1$, називають показник степеня, до якого потрібно піднести число $a$, щоб отримати число $b$:

$a^{\log_a b}=b$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — основна логарифмічна тотожність

$\log_a a=1$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\log_a 1=0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\log_a a^c=c$

$\lg b=\log_{10}b$ — десятковий логарифм; $\ln b=\log_e b$ — натуральний логарифм ($e\approx2{,}718$).

Приклади: $\log_2 8=3$; $\log_3\frac19=-2$; $\log_{25}5=\frac12$; $\lg0{,}001=-3$; $\ln e=1$; $7^{\log_7 3}=3$; $10^{2+\lg7}=100\cdot7=700$.

Вираз $\log_a b$ не має змісту, якщо $b\le0$, $a\le0$ або $a=1$.

Підручник 11 кл., п. 4, 8 НМТ № 13–15, 17

Властивості логарифмів

Умови: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $c>0$.

$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\log_a\dfrac bc=\log_a b-\log_a c$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\log_a b^n=n\log_a b$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($n$ — будь-яке число)

$\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($k$ — будь-яке число, $k\ne0$)

Перехід до іншої основи ($c\ne1$): $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$;  зокрема $\log_a b=\dfrac1{\log_b a}$ ($b\ne1$).

Наслідки: $\log_{a^k}b^n=\dfrac nk\log_a b$; $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ ($b\ne1$).

Увага: $\log_a x^2=2\log_a|x|$ ($x\ne0$); $\log_a(xy)=\log_a|x|+\log_a|y|$ ($xy>0$).

Приклади: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$; $\log_2 20+\log_2 12-\log_2 15=\log_2 16=4$; $\log_{\sqrt3}9=4$; $\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3$; $49^{\log_7 2}=\bigl(7^{\log_7 2}\bigr)^2=4$.

Підручник 11 кл., п. 4, 6 НМТ № 13–15, 17

Логарифмічна функція $y=\log_a x$ ($a>0$, $a\ne1$)

$a>1$

$0<a<1$

$D(y)=(0;\,+\infty)$, $E(y)=\mathbb R$; нуль функції $x=1$; пряма $x=0$ — асимптота.

• $a>1$: функція зростає; $y<0$ на $(0;\,1)$, $y>0$ на $(1;\,+\infty)$.

• $0<a<1$: функція спадає; $y>0$ на $(0;\,1)$, $y<0$ на $(1;\,+\infty)$.

$y=\log_a x$ і $y=a^x$ — взаємно обернені функції, їхні графіки симетричні відносно прямої $y=x$: $\log_a a^x=x$ ($x\in\mathbb R$), $a^{\log_a x}=x$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($x>0$).

Порівняння: $\log_2 6<\log_2 7$; $\log_{0{,}2}6>\log_{0{,}2}7$. Знак: $\log_a b>0$, якщо $a$ і $b$ обидва більші за 1 або обидва менші від 1, інакше $\log_a b<0$ ($b\ne1$). Різні основи — через «опорні» числа: $\log_2 3>1>\log_3 2$; $2<\log_3 20<3$, бо $3^2<20<3^3$.

Графік $y=\log_a(x-m)+n$: $D(y)=(m;\,+\infty)$, асимптота — пряма $x=m$.

Підручник 11 кл., п. 5 НМТ № 16, 17

Показникові рівняння

Найпростіше рівняння $a^x=b$: при $b\le0$ коренів немає; при $b>0$ — єдиний корінь $x=\log_a b$ (наприклад, $3^x=7$, $x=\log_3 7$).

1) Зведення до однієї основи: $0{,}125^x=128$; $2^{-3x}=2^7$; $x=-\frac73$.

2) Винесення за дужки степеня з меншим показником: $3^{x+1}-3^{x-1}=24$; $3^{x-1}\bigl(3^2-1\bigr)=24$; $3^{x-1}=3$; $x=2$.

3) Заміна $t=a^x$, $t>0$: $4^x-3\cdot2^x-4=0$; $t^2-3t-4=0$; $t=4$ ($t=-1$ не підходить); $2^x=4$; $x=2$.

Підручник 11 кл., п. 2, 4 НМТ № 11

Показникові рівняння: інші прийоми

Однорідні ($a^{2x}$, $a^xb^x$, $b^{2x}$): ділимо на $b^{2x}>0$ і робимо заміну $t=\left(\frac ab\right)^x$. Зокрема, $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ ($a,b>0$, $a\ne b$) $\Leftrightarrow$ $f(x)=0$.

Логарифмування: $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ $\Leftrightarrow$ $f(x)\lg a=g(x)\lg b$ ($a>0$, $b>0$).

Якщо одна частина рівняння зростає, а друга спадає (або стала), то рівняння має не більше ніж один корінь — його можна підібрати: $2^x=3-x$; $x=1$.

Параметр: після заміни $t=2^x$ кожному $t>0$ відповідає рівно один корінь $x=\log_2 t$, а $t\le0$ — жодного. Наприклад, $4^x-(a+3)\cdot2^x+4a-4=0$: $t=4$ або $t=a-1$; корінь $x=2$ є завжди, тож він єдиний, якщо $a-1\le0$ або $a-1=4$, тобто при $a\le1$ або $a=5$.

Підручник 11 кл., п. 2, 4 НМТ № 11, 22

Показникові нерівності

$a>1$: $a^{f(x)}>a^{g(x)}\ \Leftrightarrow\ f(x)>g(x)$ (знак нерівності зберігається)

$0<a<1$: $a^{f(x)}>a^{g(x)}\ \Leftrightarrow\ f(x)<g(x)$ (знак змінюється)

Приклад: $\left(\frac13\right)^{x}>9$; $\left(\frac13\right)^x>\left(\frac13\right)^{-2}$; $x<-2$. Інший: $2^x>5$; $x>\log_2 5$.

Оскільки $a^{f(x)}>0$, нерівність $a^{f(x)}>b$ при $b\le0$ виконується для всіх $x$ з ОДЗ, а $a^{f(x)}<b$ при $b\le0$ розв’язків не має.

Заміна $t=a^x$, $t>0$: $4^x-2^x-2<0$; $t^2-t-2<0$; $-1<t<2$; $0<2^x<2$; $x<1$.

Підручник 11 кл., п. 3 НМТ № 4

Логарифмічні рівняння

Найпростіше рівняння $\log_a x=b$ має єдиний корінь $x=a^b$ при будь-якому $b$; $\log_a f(x)=b\ \Leftrightarrow\ f(x)=a^b$.

Рівняння $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ ($a>0$, $a\ne1$)рівносильне кожній із систем

Заміна $\log_a f+\log_a g$ на $\log_a(fg)$ розширює ОДЗ — можуть з’явитися сторонні корені: спершу знаходимо ОДЗ або перевіряємо корені. Навпаки, заміна $\log_a f^2$ на $2\log_a f$ звужує ОДЗ — можна втратити корені; правильно $2\log_a|f|$.

Приклад: $\log_3(2x-1)+\log_3(x-2)=3$; ОДЗ: $x>2$; $(2x-1)(x-2)=27$; $x=5$ або $x=-\frac52$ (не входить до ОДЗ). Відповідь: 5.

Зведення до однієї основи: $\log_2x+\log_4x=3$; $\log_2x+\frac12\log_2x=3$; $\log_2x=2$; $x=4$.

Логарифмування й заміна: $x^{\lg x}=100x$; $\lg^2x=2+\lg x$; $t=\lg x$: $t^2-t-2=0$; $x=100$ або $x=0{,}1$.

Якщо змінна в основі, то $\log_{g(x)}f(x)$ має зміст при $f(x)>0$, $g(x)>0$, $g(x)\ne1$.

Підручник 11 кл., п. 6 НМТ № 13–15, 22

Логарифмічні нерівності

Нерівність $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ рівносильна системі:

При $a>1$ знак нерівності зберігається, при $0<a<1$ — змінюється; додатною вимагаємо меншу з функцій.