Стереометрія: формули та властивості

Аксіоми стереометрії

А1. У кожній площині простору виконуються всі аксіоми планіметрії.

А2. Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж тільки одна.

А3. Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма належить цій площині.

А4. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій.

Площину задають: три точки, що не лежать на одній прямій; пряма й точка поза нею; дві прямі, що перетинаються; дві паралельні прямі.

Підручник 10 кл., п. 1, 2, 4

Перерізи многогранників

Сторони перерізу лежать на гранях многогранника.

• Дві точки перерізу, що лежать в одній грані, сполучаємо відрізком.

• Паралельні грані площина перетинає по паралельних відрізках.

• Переріз тетраедра — трикутник або чотирикутник, куба — від трикутника до шестикутника.

Підручник 10 кл., п. 3, 6

Взаємне розміщення двох прямих

Дві прямі в просторі:

• перетинаються — мають одну спільну точку;

• паралельні — лежать в одній площині й не перетинаються;

• мимобіжні — не лежать в одній площині.

У кубі: $AB\parallel D_1C_1$; $AB$ і $BB_1$ перетинаються; $AB$ і $CC_1$ — мимобіжні.

Ознака мимобіжних прямих: якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі мимобіжні ($CC_1$ перетинає площину $ABC$ у точці $C\notin AB$).

Через точку поза прямою проходить тільки одна пряма, паралельна даній. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Підручник 10 кл., п. 4, 5 НМТ № 5

Паралельність прямої та площини

Пряма лежить у площині, перетинає її (одна спільна точка) або паралельна їй (немає спільних точок).

Ознака: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Якщо площина проходить через пряму, паралельну другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій.

Підручник 10 кл., п. 5 НМТ № 5

Паралельність площин

Дві площини або перетинаються по прямій, або паралельні (не мають спільних точок).

Ознака: якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Прямі перетину двох паралельних площин третьою площиною паралельні. Відрізки паралельних прямих між паралельними площинами рівні.

Підручник 10 кл., п. 6 НМТ № 5

Паралельне проєктування

Зображення фігури — її паралельна проєкція. Для прямих, не паралельних напряму проєктування, паралельні прямі зображуються паралельними прямими (або однією прямою), а відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається: середина відрізка — середина, паралелограм — паралелограм (або відрізок). Кути й довжини можуть спотворюватися.

Підручник 10 кл., п. 7

Кут між прямими

Кут між прямими, що перетинаються, — той з утворених кутів, що не більший за $90^\circ$; між паралельними прямими — $0^\circ$.

Між мимобіжними — кут між прямими, які перетинаються й відповідно паралельні даним.

У кубі кут між мимобіжними $A_1B$ і $CD$ дорівнює куту між $A_1B$ і $AB$ (бо $CD\parallel AB$), тобто $45^\circ$. Перпендикулярними бувають і мимобіжні прямі: $AB\perp CC_1$.

Підручник 10 кл., п. 8 НМТ № 5

Перпендикулярність прямої та площини

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої цієї площини.

Ознака: якщо $a\perp b$ і $a\perp c$, де $b$ і $c$ — прямі площини $\alpha$, що перетинаються, то $a\perp\alpha$.

Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й друга перпендикулярна до неї.

Підручник 10 кл., п. 9 НМТ № 5

Перпендикуляр, похила, кут між прямою та площиною

$AO\perp\alpha$: $AO$ — перпендикуляр, $AB$ — похила, $OB$ — проєкція похилої; $AO<AB$.

Похилі, проведені з однієї точки: рівні похилі мають рівні проєкції, більша похила — більшу проєкцію (і навпаки).

Кут між прямою та площиною — кут між прямою та її проєкцією на площину: $\varphi=\angle ABO$,

Якщо пряма паралельна площині або лежить у ній, кут дорівнює $0^\circ$; якщо перпендикулярна — $90^\circ$.

Теорема про три перпендикуляри: пряма $c$, що лежить у площині, перпендикулярна до похилої тоді й тільки тоді, коли вона перпендикулярна до проєкції похилої: $c\perp OB\ \Leftrightarrow\ c\perp AB$.

Підручник 10 кл., п. 10–12 НМТ № 5, 21

Двогранний кут, кут між площинами

Двогранний кут з ребром $l$ і гранями $\alpha$, $\beta$.

Лінійний кут — $\angle AOB=\varphi$: $O\in l$, $OA\subset\alpha$, $OB\subset\beta$, $OA\perp l$, $OB\perp l$.

Величина двогранного кута — величина його лінійного кута.

Кут між площинами, що перетинаються, — той з утворених двогранних кутів, який не більший за $90^\circ$; між паралельними площинами — $0^\circ$.

Підручник 10 кл., п. 13 НМТ № 5, 21

Перпендикулярні площини; площа проєкції

Площини перпендикулярні, якщо кут між ними $90^\circ$.

Ознака: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої перетину площин, перпендикулярна до другої площини.

Площа ортогональної проєкції многокутника: $S_{\text{пр}}=S\cos\varphi$ ($\varphi$ — кут між площиною многокутника і площиною проєкції).

Підручник 10 кл., п. 14, 15 НМТ № 21

Відстані

Від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину. Від прямої до паралельної їй площини — відстань від будь-якої точки прямої до площини; між паралельними площинами — від будь-якої точки однієї площини до другої.

Між мимобіжними прямими — довжина їхнього спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до обох прямих, з кінцями на них); вона дорівнює відстані між паралельними площинами, що містять ці прямі. У кубі відстань між $AA_1$ і $CD$ дорівнює ребру.

Підручник 10 кл., п. 10 НМТ № 5

Призма

$\Sbich=\Posn\cdot h$ (S б — площа бічної поверхні; P осн — периметр основи)Д (є в довідкових матеріалах НМТ) (пряма призма)

$\Spov=\Sbich+2\Sosn$ (S п — площа повної поверхні; S б — площа бічної поверхні; S осн — площа основи)

$V=\Sosn\cdot h$ (S осн — площа основи)Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Пряма призма: бічні ребра перпендикулярні до основ, бічні грані — прямокутники, висота $h$ дорівнює бічному ребру; бічна поверхня розгортається в прямокутник $\Posn\times h$ (P осн — периметр основи). Правильна призма — пряма, в основі якої правильний многокутник.

$n$-кутна призма має $2n$ вершин, $3n$ ребер і $n+2$ грані.

Підручник 11 кл., п. 1, 14 НМТ № 5, 21

Паралелепіпед і куб

Прямокутний паралелепіпед з вимірами $a$, $b$, $c$; $d$ — діагональ:

$d^2=a^2+b^2+c^2$

$V=abc$

$\Spov=2(ab+bc+ac)$ (S п — площа повної поверхні)

Куб з ребром $a$: $d=a\sqrt3$, $V=a^3$, $\Spov=6a^2$ (S п — площа повної поверхні); діагональ грані — $a\sqrt2$.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й діляться нею навпіл.

Підручник 11 кл., п. 2, 14 НМТ № 5, 21

Піраміда

Правильна піраміда: в основі — правильний многокутник, вершина $S$ проєктується в його центр $O$; $SK=d$ — апофема (висота бічної грані, проведена з вершини $S$).

$\Sbich=\dfrac12\,\Posn\cdot d$ (S б — площа бічної поверхні; P осн — периметр основи)Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\Spov=\Sbich+\Sosn$ (S п — площа повної поверхні; S б — площа бічної поверхні; S осн — площа основи)

$V=\dfrac13\,\Sosn\cdot h$ (S осн — площа основи)Д (є в довідкових матеріалах НМТ) (будь-яка піраміда)

У правильній піраміді: $d^2=h^2+OK^2$, де $OK$ — радіус кола, вписаного в основу; бічне ребро $SA^2=h^2+OA^2$, де $OA$ — радіус описаного кола. $\angle SKO$ — кут між бічною гранню й основою, $\angle SAO$ — кут між бічним ребром і основою.

$n$-кутна піраміда має $n+1$ вершину, $2n$ ребер і $n+1$ грань. У довідці НМТ апофему позначено $m$.

Підручник 11 кл., п. 3, 15 НМТ № 21

Куди проєктується вершина піраміди

Якщо бічні ребра піраміди рівні (або однаково нахилені до основи), вершина проєктується в центр кола, описаного навколо основи.

Якщо всі двогранні кути опуклої піраміди при ребрах основи дорівнюють $\alpha$, вершина проєктується в центр вписаного кола, і

Підручник 11 кл., п. 3; 10 кл., п. 10–12, 15 НМТ № 21

Переріз, паралельний основі; зрізана піраміда

Площина, паралельна основі піраміди, відтинає піраміду, подібну даній; коефіцієнт подібності $k$ дорівнює відношенню їхніх висот. Площа перерізу дорівнює $k^2\Sosn$ (S осн — площа основи), а об’єм відтятої піраміди становить $k^3$ від об’єму даної.

Друга частина — зрізана піраміда; $S_1$, $S_2$ — площі її основ, $h$ — висота зрізаної піраміди:

Правильна зрізана піраміда ($P$, $p$ — периметри основ, $d$ — апофема): $\Sbich=\dfrac12\,(P+p)\cdot d$ (S б — площа бічної поверхні).

Підручник 11 кл., п. 4, 15

Циліндр

$r$ — радіус основи, $h$ — висота:

$\Sbich=2\pi rh$ (S б — площа бічної поверхні)Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\Spov=2\pi rh+2\pi r^2$ (S п — площа повної поверхні)

$V=\pi r^2h$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами $2r$ і $h$; переріз площиною, паралельною основам, — круг радіуса $r$. Розгортка бічної поверхні — прямокутник $2\pi r\times h$.

Підручник 11 кл., п. 5, 16 НМТ № 5, 21

Конус

$r$ — радіус основи, $h$ — висота, $l$ — твірна:

$l^2=r^2+h^2$

$\Sbich=\pi rl$ (S б — площа бічної поверхні)Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\Spov=\pi rl+\pi r^2$ (S п — площа повної поверхні)

$V=\dfrac13\,\pi r^2h$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\angle SAO$ — кут між твірною та основою. Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник з бічними сторонами $l$ і основою $2r$; переріз площиною, паралельною основі, — круг.

Розгортка бічної поверхні — круговий сектор радіуса $l$ з дугою завдовжки $2\pi r$; його кут

$\varphi=\dfrac{360^\circ\cdot r}{l}$

Зрізаний конус ($r_1$, $r_2$ — радіуси основ, $l$ — його твірна, $h$ — висота):

Підручник 11 кл., п. 7, 8, 16 НМТ № 5, 21

Куля і сфера

$r$ — радіус кулі, $d=OO_1$ — відстань від центра до площини. Якщо $d<r$, переріз кулі площиною — круг із центром $O_1$:

$O_1A=\sqrt{r^2-d^2}$

$S=4\pi r^2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — площа сфери

$V=\dfrac43\,\pi r^3$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — об’єм кулі

Площина, що проходить через центр, перетинає кулю по великому кругу радіуса $r$. Дотична площина до сфери перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Підручник 11 кл., п. 10, 16, 17 НМТ № 5, 8

Вписані й описані тіла

Призму вписано в циліндр, якщо її основи вписано в основи циліндра; піраміду вписано в конус, якщо її основу вписано в основу конуса, а вершини збігаються. Тоді висоти рівні, а радіус циліндра (конуса) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи многогранника.

$R^2=r^2+\dfrac{h^2}{4}$

вписана сфера

Осьові перерізи: ліворуч — циліндра з описаною сферою, праворуч — конуса з вписаною сферою.

Навколо будь-якого циліндра й конуса можна описати сферу; її радіус $R$ дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу. У будь-який конус можна вписати сферу; її радіус дорівнює радіусу кола, вписаного в осьовий переріз. Вписати сферу в циліндр можна, якщо $h=2r$ (осьовий переріз — квадрат).

Навколо прямокутного паралелепіпеда можна описати сферу: $R=\frac d2$ ($d$ — його діагональ); у куб з ребром $a$ можна вписати сферу радіуса $\frac a2$. Навколо правильних піраміди й призми теж можна описати сферу.

Підручник 11 кл., п. 6, 9, 11–13 НМТ № 21

Координати точки

$A(x;\,y;\,z)$: $x$ — абсциса, $y$ — ордината, $z$ — апліката.

Точки осі $x$: $(x;\,0;\,0)$; площини $xy$: $(x;\,y;\,0)$.

$A(x_1;\,y_1;\,z_1)$, $B(x_2;\,y_2;\,z_2)$:

Середина $M(x_0;\,y_0;\,z_0)$ відрізка $AB$:

Точка, симетрична $A(x;\,y;\,z)$ відносно: початку координат — $(-x;\,-y;\,-z)$; площини $xy$ — $(x;\,y;\,-z)$; осі $z$ — $(-x;\,-y;\,z)$ (для інших площин і осей — аналогічно).

Відстань від $A(x;\,y;\,z)$ до площини $xy$ дорівнює $|z|$, до осі $z$ — $\sqrt{x^2+y^2}$.

Сфера з центром $(a;\,b;\,c)$ і радіусом $r$: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.

Підручник 10 кл., п. 16, 21 НМТ № 8

Вектори

$\vect{AB}\,(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\vec a\,(a_1;\,a_2;\,a_3)$: $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\vec a+\vec b\,(a_1+b_1;\ a_2+b_2;\ a_3+b_3)$, $k\vec a\,(ka_1;\ ka_2;\ ka_3)$

Якщо $\vec a\ne\vec 0$, то $\vec a$ і $\vec b$ колінеарні $\Leftrightarrow$ $\vec b=k\vec a$, тобто $b_1=ka_1$, $b_2=ka_2$, $b_3=ka_3$. Рівні вектори мають рівні координати.

Правило паралелепіпеда: $\vect{AC_1}=\vect{AB}+\vect{AD}+\vect{AA_1}$ ($ABCDA_1B_1C_1D_1$ — паралелепіпед).

Скалярний добуток ($\varphi$ — кут між векторами):

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$. Для ненульових векторів:

$\vec a\perp\vec b\ \Leftrightarrow\ \vec a\cdot\vec b=0$.

Кут $\varphi$ між прямими $AB$ і $CD$ (з модулем, бо цей кут не більший за $90^\circ$):

Підручник 10 кл., п. 17–20 НМТ № 8