Вирази, рівняння й нерівності

Степінь з натуральним показником

$a$ — основа, $n$ — показник степеня. Від’ємне число в парному степені — додатне, у непарному — від’ємне; $0^n=0$.

Для натуральних $m$ і $n$:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $(a^m)^n=a^{mn}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$a^m:a^n=a^{m-n}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($a\ne0$, $m>n$)  $(ab)^n=a^nb^n$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Приклад: $\dfrac{2^7\cdot4^3}{8^4}=\dfrac{2^7\cdot2^6}{2^{12}}=2^{7+6-12}=2$; $(-a^4)^3=-a^{12}$.

Підручник 7 кл., п. 5, 6 НМТ № 4, 9, 17

Степінь із цілим показником. Стандартний вигляд числа

$a^0=1$, $a\ne0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$, $a\ne0$, $n\in\mathbb N$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Вираз $0^n$ при цілих $n\le0$ не має змісту.

Для $a\ne0$, $b\ne0$ і будь-яких цілих $m$, $n$ справджуються всі властивості степеня з натуральним показником (уже без умови $m>n$), а також $\Bigl(\dfrac ab\Bigr)^{n}=\dfrac{a^n}{b^n}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ); звідси $\Bigl(\dfrac ab\Bigr)^{-n}=\Bigl(\dfrac ba\Bigr)^{n}$.

Приклад: $\bigl(5^{-5}\bigr)^{-4}:\bigl(5^{-7}\bigr)^{-3}=5^{20}:5^{21}=5^{-1}=\dfrac15$.

Стандартний вигляд числа: $a\cdot10^n$, де $1\le a<10$, $n$ — ціле число (порядок числа): $564\,000\,000=5{,}64\cdot10^8$; $0{,}0036=3{,}6\cdot10^{-3}$; $(3{,}4\cdot10^{14})\cdot(7\cdot10^{-8})=23{,}8\cdot10^{6}=2{,}38\cdot10^{7}$.

Підручник 8 кл., п. 8, 9 НМТ № 4, 9, 17

Одночлени й многочлени. Тотожності

Одночлен — добуток чисел, змінних та їхніх степенів. Стандартний вигляд: один числовий множник (коефіцієнт) на першому місці, решта — степені різних змінних: $-3a^2b^5$ (коефіцієнт $-3$, степінь $2+5=7$).

Многочлен — сума одночленів; подібні члени зводять: $5x^2y-2x^2y=3x^2y$. Степінь многочлена стандартного вигляду — найбільший зі степенів його членів.

Тотожність — рівність, правильна при всіх допустимих значеннях змінних; тотожне перетворення — заміна виразу тотожно рівним. Щоб довести тотожність, перетворюють одну її частину в другу, або обидві частини — в один вираз, або показують, що різниця частин тотожно дорівнює нулю.

Підручник 7 кл., п. 4, 7–11; 8 кл., п. 2 НМТ № 13–15

Формули скороченого множення

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Виділення квадрата двочлена: $x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge1$, тому найменше значення виразу дорівнює 1 (при $x=2$).

Підручник 7 кл., п. 14–18 НМТ № 9, 13–15

Розкладання многочлена на множники

Винесення спільного множника за дужки: $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$.

Групування: $ab+2a+3b+6=a(b+2)+3(b+2)=(b+2)(a+3)$.

За формулами скороченого множення: $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$; $x^2+6x+9=(x+3)^2$; $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Способи часто поєднують: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.

Підручник 7 кл., п. 12, 13, 15, 17–19 НМТ № 9, 13–15

Арифметичний квадратний корінь

$\sqrt a$ — невід’ємне число, квадрат якого дорівнює $a$: $\sqrt a=b$ $\Leftrightarrow$ $b\ge0$ і $b^2=a$. Вираз $\sqrt a$ має зміст лише при $a\ge0$.

Узагалі, $\sqrt{a^{2n}}=|a^n|$ ($n\in\mathbb N$): $\sqrt{a^{14}}=|a^7|$.

Якщо $a_1>a_2\ge0$, то $\sqrt{a_1}>\sqrt{a_2}$: $2\sqrt3=\sqrt{12}<\sqrt{18}=3\sqrt2$; $4<\sqrt{20}<5$, бо $16<20<25$.

Рівняння $x^2=a$: при $a>0$ корені $\pm\sqrt a$; при $a=0$ корінь 0; при $a<0$ коренів немає.

Приклади: $\sqrt{(-7{,}3)^2}=7{,}3$; $\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{25\cdot49}=35$.

Таблиця квадратів чисел від 10 до 49 є в довідці НМТД (є в довідкових матеріалах НМТ); з нею зручно добувати корені: $\sqrt{1369}=37$.

Ірраціональні числа — нескінченні неперіодичні десяткові дроби ($\sqrt2$, $\pi$). Раціональні й ірраціональні числа разом утворюють множину дійсних чисел: $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$. Якщо натуральне $n$ не є квадратом натурального числа, то $\sqrt n$ — ірраціональне.

Підручник 8 кл., п. 12, 14, 15 НМТ № 9, 17

Перетворення виразів із квадратними коренями

Винесення множника з-під знака кореня: $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$ ($b\ge0$): $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.

Внесення множника під знак кореня: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\ge0$; $a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}$ при $a<0$: $-2\sqrt7=-\sqrt{28}$.

Для $a\ge0$, $b\ge0$: $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$; $(\sqrt a\pm\sqrt b)^2=a\pm2\sqrt{ab}+b$.

Подібні доданки: $\sqrt{54}-\sqrt{24}=3\sqrt6-2\sqrt6=\sqrt6$.

Звільнення від ірраціональності в знаменнику — множимо чисельник і знаменник на корінь або на вираз, що дає в знаменнику різницю квадратів: $\dfrac{15}{2\sqrt3}=\dfrac{15\sqrt3}{2\cdot3}=\dfrac{5\sqrt3}{2}$;

Підручник 8 кл., п. 16 НМТ № 9, 13–15, 17

Лінійне рівняння. Рівносильні рівняння

Лінійне рівняння $ax=b$ ($x$ — змінна, $a$ і $b$ — числа):

Рівносильні рівняння мають ті самі корені (або обидва не мають коренів). Рівняння, рівносильне даному, отримаємо, якщо перенесемо доданок в іншу частину, змінивши його знак, або помножимо (поділимо) обидві частини на число, відмінне від нуля.

Добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а інші мають зміст: $x^3-4x=0$ $\Leftrightarrow$ $x(x-2)(x+2)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ або $x=\pm2$.

Підручник 7 кл., п. 2; 8 кл., п. 7

Квадратне рівняння

$ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $D=b^2-4ac$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$D>0$: $x_1=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}$, $x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$D=0$: $x_1=x_2=-\dfrac b{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) (один корінь)

$D<0$: коренів немає.

Приклад: $2x^2-x-1=0$: $D=1+8=9$, $x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac12$, $x_2=\dfrac{1+3}{4}=1$.

Зведене рівняння — з першим коефіцієнтом 1: $x^2+bx+c=0$.

Неповні рівняння:

$b=c=0$: $ax^2=0$, $x=0$;

$b\ne0$, $c=0$: $x(ax+b)=0$, $x_1=0$, $x_2=-\dfrac ba$;

$b=0$, $c\ne0$: $x^2=-\dfrac ca$: якщо $-\dfrac ca>0$, то $x=\pm\sqrt{-\dfrac ca}$ ; якщо $-\dfrac ca<0$, коренів немає.

Якщо $b=2k$ і $k^2-ac\ge0$, то $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$.

Підручник 8 кл., п. 18, 19

Теорема Вієта. Квадратний тричлен

Якщо $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $ax^2+bx+c=0$, то

Для зведеного рівняння $x^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-b$, $x_1x_2=c$.

Обернена теорема: якщо числа $\alpha$ і $\beta$ такі, що $\alpha+\beta=-\dfrac ba$ і $\alpha\beta=\dfrac ca$, то вони є коренями рівняння $ax^2+bx+c=0$. Приклад: $x^2-5x+6=0$: $x_1=2$, $x_2=3$ ($2+3=5$, $2\cdot3=6$).

Розклад квадратного тричлена $ax^2+bx+c$ на множники ($x_1$, $x_2$ — його корені):

Якщо $D=0$: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2$; якщо $D<0$, тричлен не можна розкласти на лінійні множники.

Приклад: $2x^2-x-1=2(x-1)\bigl(x+\frac12\bigr)=(x-1)(2x+1)$.

Підручник 8 кл., п. 20, 21 НМТ № 9, 13–15

Раціональні рівняння

Ліва й права частини рівняння — раціональні вирази. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні:

Алгоритм: 1) перенести все в ліву частину й звести її до дробу $\dfrac AB$; 2) розв’язати рівняння $A=0$; 3) відкинути корені, при яких $B=0$.

Приклад: $\dfrac{x^2-16}{x-4}=0$: $x^2=16$, $x=\pm4$; але $x\ne4$, тому $x=-4$.

Однакові знаменники: $\dfrac AC=\dfrac BC$ $\Leftrightarrow$ $A=B$ і $C\ne0$. Приклад: $\dfrac{x^2+2x}{x-6}=\dfrac{5x+18}{x-6}$: $x^2-3x-18=0$, $x=-3$ або $x=6$; але $x\ne6$, тому $x=-3$.

Підручник 8 кл., п. 7, 22

Рівняння, які зводяться до квадратних

Біквадратне рівняння $ax^4+bx^2+c=0$ ($a\ne0$): заміна $x^2=t$ дає $at^2+bt+c=0$; $x^2=t$ має корені лише при $t\ge0$.

Приклад: $x^4-13x^2+36=0$: $t^2-13t+36=0$, $t=4$ або $t=9$; $x=\pm2$, $x=\pm3$.

Метод заміни змінної — не лише для біквадратних рівнянь: у рівнянні $(2x-1)^4+(2x-1)^2-2=0$ заміна $(2x-1)^2=t$ дає $t^2+t-2=0$, $t=-2$ або $t=1$; $(2x-1)^2=-2$ коренів не має, з $(2x-1)^2=1$ маємо $x=0$ або $x=1$.

Підручник 8 кл., п. 22

Числові нерівності

$a>b$, якщо $a-b>0$; $a<b$, якщо $a-b<0$.

Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$.

Якщо $a>b$, то $a+c>b+c$ для будь-якого числа $c$.

Якщо $a>b$ і $c>0$, то $ac>bc$; якщо $a>b$ і $c<0$, то $ac<bc$ (знак нерівності змінюється).

Якщо $a>b$ і $ab>0$, то $\dfrac1a<\dfrac1b$.

Почленне додавання: якщо $a>b$ і $c>d$, то $a+c>b+d$.

Почленне множення: якщо $a>b>0$ і $c>d>0$, то $ac>bd$; звідси $a^n>b^n$ при $a>b>0$, $n\in\mathbb N$.

Оцінювання: якщо $6<a<8$ і $10<b<12$, то $16<a+b<20$, $60<ab<96$, $-6<a-b<-2$ (бо $-12<-b<-10$).

Підручник 9 кл., п. 1–3 НМТ № 4

Лінійні нерівності

Нерівність, рівносильну даній, отримаємо, якщо: перенесемо доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак; помножимо (поділимо) обидві частини на додатне число; помножимо (поділимо) обидві частини на від’ємне число, змінивши знак нерівності на протилежний.

Лінійна нерівність $ax>b$ (так само $ax<b$, $ax\ge b$, $ax\le b$):

$a>0$: $x>\dfrac ba$;  $a<0$: $x<\dfrac ba$;  $a=0$: отримуємо числову нерівність ($0>b$, $0<b$, $0\ge b$ чи $0\le b$): якщо вона правильна, $x$ — будь-яке число; якщо ні — розв’язків немає.

Приклад: $4-6x>3x+13$ $\Leftrightarrow$ $-9x>9$ $\Leftrightarrow$ $x<-1$, тобто $x\in(-\infty;\,-1)$.

Підручник 9 кл., п. 4, 5 НМТ № 4

Числові проміжки

$x>a$	$(a;\,+\infty)$
$x\ge a$	$[a;\,+\infty)$
$x<a$	$(-\infty;\,a)$
$x\le a$	$(-\infty;\,a]$

$a<x<b$	$(a;\,b)$
$a\le x\le b$	$[a;\,b]$
$a<x\le b$	$(a;\,b]$
$a\le x<b$	$[a;\,b)$

Кругла дужка — кінець не входить (порожня точка), квадратна — входить (зафарбована). Усі числа — $(-\infty;\,+\infty)$. Біля $\pm\infty$ дужка завжди кругла.

Підручник 9 кл., п. 5, 6 НМТ № 4

Системи лінійних нерівностей

Розв’язок системи — значення змінної, яке задовольняє кожну нерівність. Множина розв’язків системи — переріз ($\cap$) множин розв’язків її нерівностей.

Приклад: $\begin{cases}3x-1>-7,\\ 3-4x>-9\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}x>-2,\\ x<3\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $-2<x<3$, тобто $(-2;\,3)$:

Подвійна нерівність — теж система: $-1\le2x+3<5$ $\Leftrightarrow$ $-4\le2x<2$ $\Leftrightarrow$ $-2\le x<1$.

Якщо спільних точок немає, розв’язків немає ($\varnothing$), наприклад: $x>5$ і $x<5$.

Допустимі значення виразу $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$ — розв’язки системи $2x-1\ge0$, $5-x\ge0$, тобто $\bigl[\frac12;\,5\bigr]$.

Підручник 9 кл., п. 6 НМТ № 4

Квадратні нерівності

$ax^2+bx+c>0$ (або $<0$, $\ge0$, $\le0$), $a\ne0$. Графічний метод: знаходимо корені тричлена й схематично зображаємо параболу $y=ax^2+bx+c$; при $a>0$ її вітки напрямлені вгору. Розв’язки при $a>0$:

${}>0$	$x<x_1$ або $x>x_2$	$x\ne x_0$	будь-яке $x$
${}\ge0$	$x\le x_1$ або $x\ge x_2$	будь-яке $x$	будь-яке $x$
${}<0$	$x_1<x<x_2$	$\varnothing$	$\varnothing$
${}\le0$	$x_1\le x\le x_2$	$x=x_0$	$\varnothing$

$x_0=-\dfrac b{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ); $\varnothing$ — розв’язків немає. Якщо $a<0$, множимо нерівність на $-1$, змінюючи її знак.

Приклад: $2x^2-x-1>0$: $x_1=-\frac12$, $x_2=1$; $x\in\bigl(-\infty;\,-\frac12\bigr)\cup(1;\,+\infty)$.

Інші раціональні нерівності — методом інтервалів (довідник «Рівняння й нерівності: методи, модуль, параметр»).

Підручник 9 кл., п. 12

Рівняння й нерівності з модулем

$|a|=a$, якщо $a\ge0$; $|a|=-a$, якщо $a<0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$|a|\ge0$, $|{-a}|=|a|$; $|a|$ — відстань від початку відліку до точки, яка зображує число $a$.

$|x|=a$: при $a>0$ корені $\pm a$; при $a=0$ корінь 0; при $a<0$ коренів немає.

Так само: $|5x-6|=4$ $\Leftrightarrow$ $5x-6=4$ або $5x-6=-4$; $x=2$ або $x=0{,}4$.

Якщо знак виразу відомий, модуль розкриваємо за означенням: $|x-3|=-(x-3)=3-x$ при $x<3$.

При $a>0$:

$|x|<a$ $\Leftrightarrow$ $-a<x<a$;

$|x|>a$ $\Leftrightarrow$ $x<-a$ або $x>a$.

Приклад: $|2x+3|<5$ $\Leftrightarrow$ $-5<2x+3<5$ $\Leftrightarrow$ $-4<x<1$.

Підручник 6 кл., п. 30; 7 кл., п. 2; 9 кл., п. 6 НМТ № 4, 17

Системи лінійних рівнянь

Розв’язок системи з двома змінними — пара чисел $(x;\,y)$, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну рівність.

Метод підстановки: з одного рівняння виражаємо змінну через другу ($3x-2y=6$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{2y+6}{3}$) й підставляємо в інше рівняння. Так само виражають змінну з формули: $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$ $\Rightarrow$ $b=\dfrac{2S}{h}-a$.

Метод додавання: множимо рівняння на «вигідні» числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними, і додаємо рівняння почленно.

Приклад: $\begin{cases}x+y=5,\\ x-y=1\end{cases}$ додаємо: $2x=6$, $x=3$, $y=5-3=2$; розв’язок $(3;\,2)$.

Підручник 7 кл., п. 24–28 НМТ № 13–15

Графічний метод. Кількість розв’язків

Розв’язки системи — координати спільних точок графіків її рівнянь. Графічно їх зазвичай знаходять наближено, тому перевіряємо підстановкою. Графік рівняння $ax+by=c$, де $a$ і $b$ не дорівнюють нулю одночасно, — пряма. Система двох лінійних рівнянь:

Інших випадків немає: така система не може мати, наприклад, рівно два розв’язки.

Підручник 7 кл., п. 25, 26 НМТ № 13–15

Системи рівнянь другого степеня

Ті самі методи: підстановка (зручна, якщо одне з рівнянь лінійне), додавання, заміна змінних, графічний.

Приклад: $\begin{cases}y=x^2,\\ y-x=2.\end{cases}$

Підстановка $y=x+2$: $x^2=x+2$, $x^2-x-2=0$, $x_1=-1$, $x_2=2$; розв’язки $(-1;\,1)$, $(2;\,4)$.

Графічно — це спільні точки параболи $y=x^2$ і прямої $y=x+2$.

Підручник 9 кл., п. 13 НМТ № 13–15

Системи: заміна змінних, кількість розв’язків

Якщо відомі $x+y$ і $xy$, допомагає теорема, обернена до теореми Вієта: з $x+y=3$, $xy=2$ випливає, що $x$ і $y$ — корені рівняння $t^2-3t+2=0$; розв’язки $(1;\,2)$, $(2;\,1)$.

Вираз, відомий з одного рівняння, підставляємо в інше: якщо $x+y=5$, то $xy+y^2=y(x+y)=5y$.

Кількість розв’язків зручно визначати графічно: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ($R>0$) — коло з центром $(a;\,b)$ радіуса $R$; $y=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) — парабола; $xy=k$ ($k\ne0$) — гіпербола.

Підручник 9 кл., п. 13 НМТ № 13–15

Текстові задачі. Рух

Позначаємо невідоме, складаємо рівняння (систему), розв’язуємо й перевіряємо, чи відповідає корінь змісту задачі (швидкість, час, кількість — додатні).

Рух: $s=vt$, $t=\dfrac sv$. Рух назустріч (вирушили одночасно): до зустрічі тіла разом проходять усю відстань: $v_1t+v_2t=s$.

Рух по річці ($v$ — власна швидкість, $v_{\text т}$ — швидкість течії): за течією $v+v_{\text т}$, проти течії $v-v_{\text т}$; пліт пливе зі швидкістю течії.

Приклад: човен пройшов 3 км за течією й 2 км проти течії за 0,5 год, швидкість течії — 2 км/год; $x$ км/год — власна швидкість човна:

Звідси $x^2-10x=0$: $x=0$ — не підходить ($x>2$), $x=10$.

Підручник 7 кл., п. 3, 29; 8 кл., п. 7, 23; 9 кл., п. 14

Текстові задачі. Робота, числа

Спільна робота: усю роботу беремо за 1. Якщо перший виконує роботу за $x$ год, а другий — за $y$ год, то за 1 год вони виконують $\dfrac1x$ і $\dfrac1y$ роботи, а удвох — $\dfrac1x+\dfrac1y$.

Приклад: двоє робітників, працюючи разом, виконують роботу за 10 днів; $x$ і $y$ — кількість днів, за яку кожен виконав би її сам: $\dfrac{10}x+\dfrac{10}y=1$.

Двоцифрове число $\overline{ab}=10a+b$; з переставленими цифрами — $10b+a$.

Підручник 7 кл., п. 9, 29; 8 кл., п. 23; 9 кл., п. 14