Числа, відсотки, пропорції

Числові множини

$\mathbb Z$ — натуральні числа, протилежні їм і $0$. $\mathbb Q$ — числа виду $\dfrac mn$, де $m\in\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$: скінченні або нескінченні періодичні десяткові дроби. Ірраціональні числа — нескінченні неперіодичні десяткові дроби. $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

Властивості дій: $a+b=b+a$; $ab=ba$; $(a+b)+c=a+(b+c)$; $(ab)c=a(bc)$; $a(b+c)=ab+ac$. На нуль ділити не можна.

Підручник 6 кл., п. 29; 8 кл., п. 14

Ділення з остачею

$a$ — ділене, $b$ — дільник, $q$ — неповна частка, $r$ — остача ($a$ і $b$ — натуральні числа): $189=13\cdot14+7$.

Якщо $r=0$, то $a$ ділиться націло на $b$: $a$ — кратне числа $b$, $b$ — дільник числа $a$.

Остача від ділення на 10 дорівнює останній цифрі числа.

Підручник 5 кл., п. 19; 6 кл., п. 1, 2

Ознаки подільності

Натуральне число ділиться націло тоді й тільки тоді, коли:

$7335$: сума цифр $18$ — ділиться на 3 і на 9; остання цифра 5 — ділиться на 5, але не на 2 і не на 10.

Підручник 6 кл., п. 2, 3

Прості й складені числа

Просте число має тільки два натуральних дільники: 1 і саме це число (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …); складене — більше ніж два; 1 — ні просте, ні складене.

Складене число можна розкласти на прості множники (праворуч): $180=2^2\cdot3^2\cdot5$.

Таблиця квадратів чисел 10–49 є в довідці НМТД (є в довідкових матеріалах НМТ); з нею легше розкладати: $1225=35^2=5^2\cdot7^2$.

Підручник 6 кл., п. 4

НСД і НСК

$\Nsd(a;\,b)$ (НСД — найбільший спільний дільник) — найбільше натуральне число, на яке ділиться націло кожне з чисел $a$ і $b$; $\Nsk(a;\,b)$ (НСК — найменше спільне кратне) — найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з них. За розкладами на прості множники: НСД — добуток спільних простих множників, кожного з найменшим показником степеня; НСК — добуток усіх простих множників, що є хоча б в одному розкладі, кожного з найбільшим показником. Наприклад, $180=2^2\cdot3^2\cdot5$, $840=2^3\cdot3\cdot5\cdot7$, тому $\Nsd=2^2\cdot3\cdot5=60$ (НСД — найбільший спільний дільник), $\Nsk=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520$ (НСК — найменше спільне кратне). Взаємно прості числа: $\Nsd(a;\,b)=1$ (НСД — найбільший спільний дільник), тоді $\Nsk(a;\,b)=ab$ (НСК — найменше спільне кратне). Якщо $a$ — дільник $b$, то $\Nsd=a$ (НСД — найбільший спільний дільник), $\Nsk=b$ (НСК — найменше спільне кратне). Для трьох і більше чисел — так само: $\Nsk(18;\,24;\,30)=2^3\cdot3^2\cdot5=360$ (НСК — найменше спільне кратне).

Підручник 6 кл., п. 5, 6

Звичайні дроби

$\dfrac ab$: $a$ — чисельник, $b$ — знаменник; $a:b=\dfrac ab$ ($b\ne0$). Правильний дріб: $a<b$; неправильний: $a\ge b$; мішане число $3\dfrac25=\dfrac{3\cdot5+2}{5}=\dfrac{17}{5}$.

Скоротивши дріб на НСД чисельника й знаменника, отримуємо нескоротний: $\dfrac{84}{126}=\dfrac23$; найменший спільний знаменник — НСК знаменників.

Тут $b$, $c$, $d\ne0$. Мішані числа перед множенням і діленням записують неправильними дробами.

Порівняння: за однакових знаменників більший дріб з більшим чисельником, за однакових чисельників — з меншим знаменником; інакше дроби зводять до спільного знаменника.

Підручник 5 кл., п. 25–29; 6 кл., п. 7–11, 13

Десяткові дроби

Порівнюють порозрядно, за потреби дописавши нулі праворуч: $3{,}2=3{,}200>3{,}198$.

Множення на $10$, $100$, … — кома переноситься праворуч на 1, 2, … цифри; множення на $0{,}1$; $0{,}01$; … і ділення на $10$, $100$, … — ліворуч: $4{,}23:10=0{,}423$.

Добуток: множать, не зважаючи на коми, і відокремлюють комою справа стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом: $0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06$.

Частка: у діленому й дільнику переносять коми праворуч на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику: $7{,}5:0{,}06=750:6=125$.

Підручник 5 кл., п. 30, 31, 33–35

Звичайний дріб у десятковий і навпаки

Звичайний дріб у десятковий: ділять чисельник на знаменник або зводять дріб до знаменника 10, 100, …: $\dfrac7{20}=\dfrac{35}{100}=0{,}35$; навпаки, $0{,}35=\dfrac{35}{100}=\dfrac7{20}$.

Нескоротний дріб $\dfrac ab$ дорівнює скінченному десятковому лише тоді, коли розклад знаменника $b$ на прості множники не містить чисел, відмінних від 2 і 5; інакше — нескінченному періодичному:

Періодичний дріб у звичайний:

$x=0{,}(45)$; $100x-x=45{,}(45)-0{,}(45)=45$; $x=\frac{45}{99}=\frac5{11}$.

$x=0{,}1(6)$; $100x-10x=16{,}(6)-1{,}(6)=15$; $90x=15$; $x=\frac{15}{90}=\frac16$.

Підручник 6 кл., п. 15, 16; 8 кл., п. 14

Округлення

Цифри після розряду, до якого округлюють, відкидають (у натуральному числі їх замінюють нулями). Якщо перша з відкинутих цифр від 0 до 4, то останню залишену цифру не змінюють; якщо від 5 до 9 — збільшують на 1.

$3{,}85741\approx3{,}86$ (до сотих); $8763\approx8800$ (до сотень); $\dfrac23=0{,}(6)\approx0{,}67$; $16{,}398\approx16{,}40$ (нуль у кінці не відкидають).

Підручник 5 кл., п. 32; 6 кл., п. 17

Координатна пряма й модуль

Координатна пряма — пряма, на якій вибрано початок відліку, одиничний відрізок і напрям. $a$ і $-a$ — протилежні числа; $-(-a)=a$.

Модуль числа — відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число; $|a-b|$ — відстань між точками $a$ і $b$.

Властивості (для будь-яких $a$, $b$): $|a|\ge0$; $|{-a}|=|a|$; $|a|^2=a^2$; $\sqrt{a^2}=|a|$; $|ab|=|a|\cdot|b|$; $\left|\dfrac ab\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ ($b\ne0$); $|a+b|\le|a|+|b|$.

Якщо $a>0$: $|x|=a$ $\Leftrightarrow$ $x=\pm a$; $|x|<a$ $\Leftrightarrow$ $-a<x<a$; $|x|>a$ $\Leftrightarrow$ $x<-a$ або $x>a$.

Наприклад, $|x-3|<2$ $\Leftrightarrow$ $1<x<5$ (точки, віддалені від 3 менш ніж на 2).

Підручник 6 кл., п. 28–30; 8 кл., п. 15 НМТ № 4, 17

Порівняння чисел

Із двох чисел більше те, яке на координатній прямій розташоване правіше. Будь-яке додатне число більше за нуль і за будь-яке від’ємне. Із двох від’ємних чисел більше те, модуль якого менший: $-2{,}5>-3$. $a>b$, якщо $a-b>0$. Дійсні числа порівнюють за їхніми десятковими записами: $\sqrt2=1{,}4142\ldots<1{,}42$.

Підручник 6 кл., п. 31; 8 кл., п. 14

Числові проміжки

Нерівність	Проміжок	Зображення
$x>a$	$(a;\,+\infty)$
$x<a$	$(-\infty;\,a)$
$x\ge a$	$[a;\,+\infty)$
$x\le a$	$(-\infty;\,a]$
$a\le x\le b$	$[a;\,b]$
$a<x<b$	$(a;\,b)$
$a<x\le b$	$(a;\,b]$
$a\le x<b$	$[a;\,b)$

Порожня точка (кругла дужка) — кінець не належить проміжку, зафарбована (квадратна дужка) — належить. $(-\infty;\,+\infty)$ — уся числова пряма.

Підручник 9 кл., п. 5, 6 НМТ № 4

Відношення, масштаб

Відношення чисел $a$ і $b$, відмінних від нуля, — їхня частка $a:b$, або $\dfrac ab$; воно показує, у скільки разів $a$ більше за $b$ або яку частину $a$ становить від $b$. Відношення не зміниться, якщо його члени помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля: $\dfrac23:\dfrac79=6:7$. Величини беруть в однакових одиницях: $3{,}2\text{ м}:16\text{ см}=320:16=20$.

Масштаб — відношення довжини на карті (плані) до відповідної довжини на місцевості. Масштаб $1:10\,000\,000$ означає, що 1 см на карті відповідає $10\,000\,000$ см, тобто 100 км, на місцевості.

Підручник 6 кл., п. 18 НМТ № 2–3

Пропорція

Пропорція — рівність двох відношень:

$a$ і $d$ — крайні члени, $b$ і $c$ — середні. Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. І навпаки: якщо $a$, $b$, $c$, $d$ відмінні від нуля і $ad=bc$, то $\dfrac ab=\dfrac cd$ (а також $\dfrac ac=\dfrac bd$).

Невідомий член: $9:x=3:7$ $\Rightarrow$ $3x=9\cdot7$, $x=21$.

Підручник 6 кл., п. 19 НМТ № 2–3

Пряма й обернена пропорційність

Прямо пропорційні величини: якщо одна з них збільшується (зменшується) у кілька разів, то друга — у стільки ж разів; відношення відповідних значень стале: $\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$ (шлях і час за сталої швидкості).

Обернено пропорційні: якщо одна збільшується (зменшується) у кілька разів, то друга в стільки ж разів зменшується (збільшується); добуток відповідних значень сталий: $x_1y_1=x_2y_2$ (швидкість і час на тому самому шляху).

Приклад: вантаж перевозять 20 машин по 3 т; машин по 5 т треба $x$: $20\cdot3=5x$, $x=12$.

Не кожна залежність — пропорційність: сторона квадрата втричі більша — площа вдев’ятеро.

Підручник 6 кл., п. 21 НМТ № 2–3

Поділ числа в заданому відношенні

Поділити число $a$ у відношенні $m:n$ — подати його сумою двох доданків, відношення яких дорівнює $m:n$. Одна частина — $x=\dfrac a{m+n}$, доданки $mx$ і $nx$.

Сплав масою 520 кг, маси міді й цинку відносяться як $8:5$. Одна частина — $520:13=40$ кг; міді $8\cdot40=320$ кг, цинку $5\cdot40=200$ кг. Так само 96 у відношенні $9:8:7$ — це $36$, $32$ і $28$.

Підручник 6 кл., п. 22 НМТ № 2–3

Відсоток. Три основні задачі

$1\,\%=\dfrac1{100}=0{,}01$ частини величини; $p\,\%=\dfrac p{100}$; $100\,\%$ — уся величина.

$23\,\%=0{,}23$; $1{,}4=140\,\%$; $\dfrac34=0{,}75=75\,\%$.

Нехай $a$ — уся величина ($100\,\%$), $b$ — її частина, що становить $p\,\%$:

$6\,\%$ від 15 кг — це $15\cdot0{,}06=0{,}9$ кг; якщо $14\,\%$ маси — це 49 кг, то вся маса — $49:0{,}14=350$ кг; 96 дерев з 400 — це $\frac{96}{400}\cdot100=24\,(\%)$.

Для дробу так само: $\dfrac mn$ від числа $a$ — це $a\cdot\dfrac mn$; якщо $\dfrac mn$ числа дорівнюють $b$, то це число — $b:\dfrac mn$.

$\frac25$ від 240 — це $240\cdot\frac25=96$. Усі ці задачі можна розв’язати й пропорцією: $\frac ab=\frac{100}p$.

Підручник 5 кл., п. 37, 38; 6 кл., п. 12, 14, 19, 20 НМТ № 2–3, 7, 20

Збільшення й зменшення на $p\,\%$

Величина $a$ після збільшення на $p\,\%$ і після зменшення на $p\,\%$:

$+9\,\%$ — множник $1{,}09$; $-35\,\%$ — множник $0{,}65$.

Зміну у відсотках рахують від початкового значення ($100\,\%$): ціна зросла зі 150 до 240 грн — на $\dfrac{240-150}{150}\cdot100\,\%=60\,\%$. Удвічі більше — на $100\,\%$ більше; удвічі менше — на $50\,\%$ менше.

Кілька змін поспіль — множники перемножують. Приклад: $+20\,\%$, потім $-20\,\%$: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$, тобто на $4\,\%$ менше, ніж спочатку (а не $0\,\%$).

Частка зросла з $20\,\%$ до $25\,\%$ — на 5 процентних пунктів, тобто на $25\,\%$.

Підручник 5 кл., п. 37; 6 кл., п. 20; 9 кл., п. 18 НМТ № 2–3, 7, 20

Складні відсотки

Вклад $a_0$ поклали в банк під $p\,\%$ річних; щороку відсотки нараховують на всю суму, що є на рахунку. Через $n$ років на рахунку буде

Суми $a_0$, $a_1$, $a_2$, … — геометрична прогресія зі знаменником $1+\frac p{100}$.

Приклад: $100\,000$ грн під $10\,\%$ річних на 2 роки: $100\,000\cdot1{,}1^2=121\,000$ грн.

Якщо величина $n$ разів поспіль зменшується на $p\,\%$, то вона стає $a_0\Bigl(1-\dfrac p{100}\Bigr)^n$.

Підручник 9 кл., п. 18 НМТ № 7, 20

Відсотковий вміст

Відсотковий вміст (концентрація) речовини — відсоткове відношення її маси до маси всього розчину (суміші, сплаву):

4 кг солі в 10 кг розчину: $\dfrac4{10}\cdot100\,\%=40\,\%$.

Коли доливають воду, маса солі не змінюється: у 200 г $10\,\%$-го розчину 20 г солі; після додавання 50 г води її вміст $\frac{20}{250}\cdot100\,\%=8\,\%$.

Підручник 6 кл., п. 20 НМТ № 7, 20