Рівняння й нерівності: методи, модуль, параметр

Рівносильні рівняння й наслідки

ОДЗ рівняння $f(x)=g(x)$ — множина $D(f)\cap D(g)$; поза нею коренів немає.

Рівняння рівносильні, якщо мають одні й ті самі корені (або обидва не мають коренів). Друге рівняння — наслідок першого, якщо кожен корінь першого є коренем другого; корені наслідку, які не є коренями даного рівняння, — сторонні.

Рівносильні перетворення: перенесення доданка в другу частину зі зміною знака; множення (ділення) обох частин на число, відмінне від нуля; піднесення обох частин до непарного степеня.

Метод наслідків: переходять до рівняння-наслідку, а всі знайдені корені перевіряють підстановкою в дане рівняння. Метод рівносильних перетворень: кожен перехід рівносильний, умови ОДЗ записують у систему.

Підручник 8 кл., п. 7; 10 кл., п. 13; 11 кл., п. 21 НМТ № 11, 13–15

Сторонні корені й утрата коренів

Можуть з’явитися сторонні корені (перевірка потрібна), якщо:

• піднести обидві частини до парного степеня: $\sqrt x=-x\ \to\ x=x^2$, сторонній корінь $x=1$;

• розширити ОДЗ (скоротити дріб, замінити $(\sqrt a)^2$ на $a$): $\log_x4=2\ \to\ x^2=4$, сторонній корінь $x=-2$;

• помножити обидві частини на вираз $\varphi(x)$ — можуть додатися корені рівняння $\varphi(x)=0$.

Можна втратити корені, якщо:

• звузити ОДЗ: $\log_2(x-1)^2=0\ \to\ 2\log_2(x-1)=0$, утрачено корінь $x=0$; $\sqrt{ab}\ \to\ \sqrt a\cdot\sqrt b$;

• поділити обидві частини на вираз зі змінною: $x^2=x\ \to\ x=1$, утрачено корінь $x=0$.

Підручник 10 кл., п. 13; 11 кл., п. 21 НМТ № 11, 13–15

Рівносильні нерівності

Рівносильну нерівність (з тією самою множиною розв’язків) отримаємо, якщо до обох частин додати (відняти) одне й те саме число або помножити (поділити) обидві частини на одне й те саме додатне число; на від’ємне число — змінивши знак нерівності на протилежний. На вираз зі змінною — лише якщо на всій ОДЗ він визначений і строго додатний (або строго від’ємний).

Розв’язки нестрогої нерівності $f(x)\ge0$ — розв’язки $f(x)>0$ разом із коренями рівняння $f(x)=0$. Приклад: $(x^2-9)\sqrt{x-2}\ge0$ $\Leftrightarrow$ $x\in\{2\}\cup[3;\,+\infty)$ — точку $x=2$ легко загубити.

Підручник 9 кл., п. 4, 5; 10 кл., п. 5, 15; 11 кл., п. 23 НМТ № 4

Розкладання на множники

Корінь одного множника підходить, лише якщо другий множник у цій точці визначений. Приклад: $(x^2-4)\sqrt{x-1}=0$: $x=\pm2$ або $x=1$; $x=-2$ не входить до ОДЗ ($x\ge1$), тому корені $1;\ 2$.

Розкладають винесенням спільного множника, групуванням, за формулами:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Якщо $x_0$ — корінь многочлена $P(x)$, то $P(x)=(x-x_0)\,Q(x)$; цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами — дільник вільного члена.

Підручник 7 кл., п. 19; 8 кл., п. 7, 21; 10 кл., п. 6; 11 кл., п. 22 НМТ № 13–15, 22

Заміна змінної

Вираз, що повторюється, позначаємо $t$, розв’язуємо рівняння відносно $t$ і повертаємося до $x$. Обмеження на $t$ враховуємо одразу: $t=x^2\ge0$, $t=\sqrt{f(x)}\ge0$, $t=a^x>0$, $t=\sin x\in[-1;\,1]$.

$x^4-5x^2+4=0$: $t=x^2$;  $(x^2-4x)^2-(x^2-4x)-2=0$: $t=x^2-4x$;

$\log_2^2x-\log_2x-2=0$: $t=\log_2x$.

Приклад: $4^x-3\cdot2^x+2=0$; $t=2^x>0$: $t^2-3t+2=0$, $t=1$ або $t=2$, звідси $x=0$ або $x=1$.

Підручник 8 кл., п. 22; 10 кл., п. 14, 31; 11 кл., п. 2, 6, 22 НМТ № 11, 13–15

Властивості функцій

Оцінка: якщо на ОДЗ $f(x)\le a$ і $g(x)\ge a$, то $f(x)=g(x)\ \Leftrightarrow\ \sys{f(x)=a,\\ g(x)=a.}$

Приклад: $\cos x=1+x^2$; $\cos x\le1\le1+x^2$, тому $\cos x=1$ і $x^2=0$, отже, $x=0$.

Монотонність: якщо $f$ зростає (або спадає) на проміжку, то рівняння $f(x)=a$ має на ньому не більше одного кореня; якщо $f$ зростає, а $g$ спадає, то $f(x)=g(x)$ має не більше одного кореня. Такий корінь досить угадати. Для нерівностей: якщо $f$ зростає на $D(f)$, то $f(x)>f(x_0)\ \Leftrightarrow\ x>x_0$ ($x\in D(f)$).

ОДЗ: якщо вона складається з кількох чисел, досить перевірити кожне з них.

Підручник 10 кл., п. 32; 11 кл., п. 6, 22, 23

Графічний метод

Корені рівняння $f(x)=g(x)$ — абсциси спільних точок графіків $y=f(x)$ і $y=g(x)$: скільки спільних точок, стільки й коренів.

Метод дає наближені значення, тому корені перевіряють; він найзручніший, щоб визначити кількість коренів.

Приклад: $2^x=3-x$ має єдиний корінь $x=1$ — графіки зростаючої та спадної функцій мають не більше однієї спільної точки.

Підручник 8 кл., п. 10; 11 кл., п. 6

Метод інтервалів

Якщо функція неперервна на проміжку й не має на ньому нулів, то на цьому проміжку вона зберігає сталий знак. Многочлени й дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ($P$, $Q$ — многочлени) неперервні на своїй області визначення.

Нерівність $f(x)>0$ ($<0$, $\ge0$, $\le0$), де $f$ неперервна на $D(f)$, розв’язують так: 1) знаходимо $D(f)$ і нулі $f$; 2) нулі й межі $D(f)$ розбивають $D(f)$ на проміжки знакосталості; 3) знак на проміжку — як у будь-якій його «пробній» точці; 4) записуємо відповідь (для нестрогої нерівності — разом із нулями). Через нуль множника в парному степені знак не змінюється, у непарному — змінюється.

Приклад: $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\ge0$:

$x\in(-\infty;\,-2]\cup\{1\}\cup(3;\,+\infty)$.

Підручник 10 кл., п. 5; 11 кл., п. 23

Показникові й логарифмічні нерівності

Рівносильні переходи ($a>0$, $a\ne1$):

Знак нерівності зберігається при $a>1$ і змінюється при $0<a<1$: функції $y=a^x$ і $y=\log_a x$ зростають при $a>1$ і спадають при $0<a<1$. Умову додатності записують для меншого з виразів. Для $\ge$, $<$, $\le$ — аналогічно.

Приклад: $\log_2(x-1)<3$ $\Leftrightarrow$ $0<x-1<2^3$ $\Leftrightarrow$ $1<x<9$.

Ірраціональні рівняння й нерівності — у довіднику «Степені, корені, логарифми».

Підручник 11 кл., п. 2, 3, 6, 7, 22, 23 НМТ № 11, 13–15

Методи розв’язування систем

Розв’язок системи з двома змінними — пара $(x;\,y)$, що задовольняє кожне її рівняння; рівносильні системи мають ті самі розв’язки.

Підстановка: з одного рівняння виражаємо змінну (напр., $y=f(x)$) і підставляємо в друге.

Додавання: рівняння, помножені на підібрані числа, додаємо (віднімаємо), щоб одна змінна зникла; якщо одне рівняння замінити сумою рівнянь системи, отримаємо рівносильну систему.

Множення й ділення: якщо $F(x;y)=c_1$ і $G(x;y)=c_2$, де $c_1\ne0$, $c_2\ne0$, то одне з рівнянь можна замінити на $F\cdot G=c_1c_2$ або на $\frac FG=\frac{c_1}{c_2}$.

Приклад: $\sys{x-y=2,\\ x^2-xy=6}$ $\Rightarrow$ $x(x-y)=6$, $2x=6$, $x=3$, $y=1$; розв’язок $(3;\,1)$.

Підручник 7 кл., п. 27, 28; 9 кл., п. 13; 11 кл., п. 24 НМТ № 13–15

Графічний метод для систем

Розв’язки системи — координати спільних точок графіків її рівнянь: скільки спільних точок, стільки розв’язків.

Система $\sys{x^2+y^2=9,\\ y=x^2-3}$ має три розв’язки: $(-\sqrt5;\,2)$, $(\sqrt5;\,2)$ і $(0;\,-3)$ — точку дотику кола й параболи.

Підручник 7 кл., п. 26; 9 кл., п. 13 НМТ № 22

Заміна змінних у системах

Вирази, що повторюються, позначаємо новими змінними. Однорідний многочлен — усі його члени одного степеня ($x^2-5xy+6y^2$). Якщо в системі $F(x;y)=a$, $G(x;y)=b$ многочлени $F$ і $G$ однорідні, зручна заміна $\frac xy=t$ (пари з $y=0$ перевіряють окремо): $x^2-5xy+6y^2=0$ $\Rightarrow$ $t^2-5t+6=0$, $x=2y$ або $x=3y$.

Симетричний многочлен не змінюється, якщо $x$ і $y$ поміняти місцями ($x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3+y^3$). Для таких систем — заміна $x+y=u$, $xy=v$:

тоді $x$ і $y$ — корені $t_1$, $t_2$ рівняння $t^2-ut+v=0$; розв’язки — пари $(t_1;\,t_2)$ і $(t_2;\,t_1)$.

Підручник 9 кл., п. 13; 11 кл., п. 24

Рівняння з модулем

$|a|=a$, якщо $a\ge0$; $|a|=-a$, якщо $a<0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$|a|\ge0$, $|{-a}|=|a|$.

$|f(x)|=a$: якщо $a>0$, то $f(x)=a$ або $f(x)=-a$; якщо $a=0$, то $f(x)=0$; якщо $a<0$, коренів немає.

$|f(x)|=f(x)\ \Leftrightarrow\ f(x)\ge0$;   $|f(x)|=-f(x)\ \Leftrightarrow\ f(x)\le0$.

Підручник 6 кл., п. 30; 7 кл., п. 2; 11 кл., п. 22 НМТ № 22

Нерівності з модулем

$|f(x)|<a$, $a>0$ $\Leftrightarrow$ $-a<f(x)<a$ (при $a\le0$ розв’язків немає);

$|f(x)|>a$, $a\ge0$ $\Leftrightarrow$ $f(x)<-a$ або $f(x)>a$ (при $a<0$ — усі $x$ з ОДЗ).

$|f(x)|<|g(x)|\ \Leftrightarrow\ f^2(x)<g^2(x)$. Для $\le$ і $\ge$ — аналогічно, але $|f(x)|\le0\ \Leftrightarrow\ f(x)=0$.

$|x-a|$ — відстань між точками $x$ і $a$ координатної прямої:

$|x-a|<r$ $\Leftrightarrow$ $a-r<x<a+r$ ($r>0$).

Підручник 9 кл., п. 6; 11 кл., п. 23 НМТ № 4

Кілька модулів

Нулі виразів під модулями розбивають числову пряму на проміжки, де знаки цих виразів сталі. На кожному проміжку розкриваємо модулі за означенням, розв’язуємо й залишаємо лише розв’язки з цього проміжку. Приклад: $|x-1|+|x+2|=5$.

$x<-2$: $-(x-1)-(x+2)=5$, $x=-3$ — підходить;

$-2\le x<1$: $-(x-1)+(x+2)=5$, $3=5$ — розв’язків немає;

$x\ge1$: $(x-1)+(x+2)=5$, $x=2$ — підходить. Відповідь: $-3;\ 2$.

Підручник 6 кл., п. 30; 7 кл., п. 2; 10 кл., п. 5

Що означає розв’язати рівняння з параметром

Параметр — буква (зазвичай $a$), яку вважають відомим, але довільним числом. Розв’язати рівняння з параметром — для кожного значення параметра знайти всі корені або встановити, що їх немає. Часто шукають значення параметра, за яких рівняння має задану кількість коренів.

Лінійне рівняння $ax=b$:

Приклад: $(a-2)x=a^2-4$: якщо $a\ne2$, то $x=a+2$; якщо $a=2$, то $0x=0$ і коренем є будь-яке число.

Нерівність $ax>b$: при $a>0$ маємо $x>\frac ba$; при $a<0$ маємо $x<\frac ba$; при $a=0$ розв’язком є будь-яке $x$, якщо $b<0$, і розв’язків немає, якщо $b\ge0$.

Підручник 7 кл., п. 2; 9 кл., п. 5 НМТ № 22

Квадратне рівняння, добуток і дріб з параметром

Якщо коефіцієнт при $x^2$ залежить від параметра, спочатку окремо розглядаємо випадок, коли він дорівнює нулю: рівняння стає лінійним. Далі $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$Д (є в довідкових матеріалах НМТ); $D=b^2-4ac$Д (є в довідкових матеріалах НМТ):

$D>0$ — два корені; $D=0$ — один корінь $x=-\dfrac{b}{2a}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ); $D<0$ — коренів немає.

Приклад: $(a+6)x^2-(a-2)x+1=0$ має один корінь, якщо $a=-6$ (тоді $8x+1=0$) або $D=(a-2)^2-4(a+6)=a^2-8a-20=0$, тобто $a=-2$ чи $a=10$.

Корінь множника (чисельника) рахуємо, лише якщо він входить до ОДЗ і не є нулем знаменника; однакові корені рахуємо один раз. Приклад: $(x-a)\sqrt{x-1}=0$: $x=1$ — корінь за будь-якого $a$; $x=a$ — ще один корінь, якщо $a>1$. Отже, два корені при $a>1$, один — при $a\le1$.

Підручник 8 кл., п. 19; 11 кл., п. 22 НМТ № 22

Заміна змінної в рівнянні з параметром

Рахуємо корені для $x$, а не для $t$:

• $t=b^x$ ($b>0$, $b\ne1$): кожному $t>0$ відповідає один корінь $x$; при $t\le0$ коренів немає;

• $t=x^2$: кожному $t>0$ відповідають два корені $x=\pm\sqrt t$, значенню $t=0$ — один корінь $x=0$; при $t<0$ коренів немає.

Приклад: $4^x-(a+1)\cdot2^x+a=0$; $t=2^x>0$: $(t-1)(t-a)=0$. Значення $t=1$ дає $x=0$, а $t=a$ — ще один корінь $x=\log_2a$, якщо $a>0$ і $a\ne1$. Отже, два корені — при $a>0$, $a\ne1$; один — при $a\le0$ або $a=1$.

Підручник 8 кл., п. 22; 11 кл., п. 2 НМТ № 22

Графічний метод із параметром

Кількість коренів рівняння $f(x)=a$ дорівнює кількості спільних точок графіка $y=f(x)$ і горизонтальної прямої $y=a$; корені є тоді й лише тоді, коли $a\in E(f)$ (напр., $2^x=a$ — лише при $a>0$).

$|x^2-4|=a$: $a<0$ — коренів немає; $a=0$ — два; $0<a<4$ — чотири; $a=4$ — три; $a>4$ — два.

Часто зручно виразити параметр через $x$ ($a=g(x)$) і шукати, скільки спільних точок має графік $y=g(x)$ (з урахуванням ОДЗ) із прямою $y=a$.

Якщо разом із розв’язком $x_0$ (або $(x_0;\,y_0)$) розв’язком є й $-x_0$ (відповідно $(-x_0;\,y_0)$), то єдиний розв’язок можливий лише при $x_0=0$; знайдені так значення параметра обов’язково перевіряють.

Підручник 10 кл., п. 2, 3, 43; 11 кл., п. 24 НМТ № 22