Похідна та інтеграл

Приріст і похідна

$\Delta x=x-x_0$ — приріст аргументу в точці $x_0$;

$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — приріст функції (позначають і $\Delta y$);

$\frac{\Delta f}{\Delta x}$ — кутовий коефіцієнт січної $M_0M$.

Похідна функції $f$ у точці $x_0$ — границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Функцію, яка має похідну в точці $x_0$, називають диференційовною в цій точці; знаходження похідної — диференціювання. У точках розриву й «злому» графіка (як у $y=|x|$ при $x=0$) і там, де дотична вертикальна, похідної немає.

Підручник 10 кл., п. 35, 36 НМТ № 12

Геометричний зміст похідної

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0$ дорівнює $f'(x_0)$:

$f'(x_0)=k=\tg\alpha$

$\alpha$ — кут між дотичною і додатним напрямом осі абсцис ($0\le\alpha<\pi$, $\alpha\ne\frac\pi2$).

$f'(x_0)>0$ — кут $\alpha$ гострий; $f'(x_0)<0$ — тупий; $f'(x_0)=0$ — дотична горизонтальна.

Якщо дотичну зображено на клітинках, беруть дві її точки з цілими координатами $(x_1;\,y_1)$ і $(x_2;\,y_2)$:

$f'(x_0)=k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

На рисунку $f'(x_0)=\frac23$. Для спадної дотичної $f'(x_0)<0$.

Підручник 10 кл., п. 35, 36 НМТ № 12, 19

Механічний (фізичний) зміст похідної

Якщо $s(t)$ — закон руху матеріальної точки по координатній прямій, то її миттєва швидкість і прискорення:

Приклад: $s(t)=t^2-4t$; $v(t)=2t-4$; $a(t)=2$. У момент $t=2$ швидкість дорівнює нулю — точка змінює напрям руху.

Підручник 10 кл., п. 35, 36, 39, 42 НМТ № 12

Рівняння дотичної

Дотична до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0$ ($f$ диференційовна в точці $x_0$):

Знаходимо $f(x_0)$, $f'(x)$, $f'(x_0)$ і підставляємо.

Приклад: $f(x)=2-4x-3x^2$, $x_0=-2$: $f(-2)=-2$, $f'(x)=-4-6x$, $f'(-2)=8$; $y=8(x+2)-2$, тобто $y=8x+14$.

Дотична паралельна прямій $y=kx+b$: $f'(x_0)=k$ (звідси знаходять $x_0$). Горизонтальна дотична: $f'(x_0)=0$.

Приклад: дотична до графіка $f(x)=e^{3x}+x$, паралельна прямій $y=4x-9$: $f'(x)=3e^{3x}+1=4$, звідси $x_0=0$, $f(0)=1$; $y=4x+1$.

Підручник 10 кл., п. 38; 11 кл., п. 8 НМТ № 19

Таблиця похідних

$C$, $k$, $b$, $\alpha$ — сталі; $a>0$, $a\ne1$; $n\in\mathbb N$, $n\ge2$; $e\approx2{,}718$, $\ln x=\log_e x$. Формули для $\sqrt x$, $\sqrt[n]x$, $\ln x$, $\log_a x$, $x^\alpha$ діють при $x>0$; для $\sqrt[n]x$ з непарним $n$ — при $x\ne0$, для $x^\alpha$ з цілим $\alpha$ — на всій області визначення.

Підручник 10 кл., п. 36, 37; 11 кл., п. 8 НМТ № 12, 19

Правила диференціювання

У точках, де функції $f$ і $g$ диференційовні; $k$ — число:

$(f+g)'=f'+g'$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $(f-g)'=f'-g'$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$(kf)'=kf'$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $(fg)'=f'g+g'f$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Приклади: $(x^3\cos x)'=3x^2\cos x-x^3\sin x$;  $\bigl(\frac{\sin x}x\bigr)'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$.

Похідна складеної функції ($g$ диференційовна в точці $x$, $f$ — у точці $g(x)$):

Приклади: $\bigl((3x-7)^6\bigr)'=6(3x-7)^5\cdot3=18(3x-7)^5$;

$(\sin2x)'=2\cos2x$;  $(e^{-7x})'=-7e^{-7x}$.

Зокрема, $\bigl(f(kx+b)\bigr)'=k\,f'(kx+b)$.

Підручник 10 кл., п. 37; 11 кл., п. 8 НМТ № 12, 19

Зростання і спадання

Якщо для всіх $x$ із проміжку $I$ виконується нерівність $f'(x)>0$, то функція $f$ зростає на цьому проміжку; якщо $f'(x)<0$ — спадає на цьому проміжку.

Якщо $f'(x)=0$ для всіх $x\in I$, то $f$ — константа на $I$.

Проміжки зростання і спадання шукають як проміжки знакосталості $f'$ (методом інтервалів). Кінці проміжків, у яких функція неперервна, включають.

Приклад: $f(x)=2x^3-3x^2-12x$, $f'(x)=6(x+1)(x-2)$: $f$ зростає на кожному з проміжків $(-\infty;\,-1]$ і $[2;\,+\infty)$, спадає на $[-1;\,2]$.

Підручник 10 кл., п. 39 НМТ № 16, 19

Точки екстремуму

$x_0$ — точка максимуму функції $f$, якщо існує окіл точки $x_0$, для всіх $x$ з якого $f(x_0)\ge f(x)$; точка мінімуму — якщо $f(x_0)\le f(x)$. Позначають $x_{\max}$, $x_{\min}$. Окіл точки — проміжок $(a;\,b)$, що її містить.

Критичні точки — внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Кожна точка екстремуму — критична (необхідна умова), але не навпаки: для $y=x^3$ маємо $y'(0)=0$, а екстремуму немає.

Достатня умова ($f$ неперервна в критичній точці $x_0$): якщо при переході через $x_0$ похідна змінює знак з «$+$» на «$-$», то $x_0$ — точка максимуму; з «$-$» на «$+$» — точка мінімуму; якщо знак не змінюється, то екстремуму в точці $x_0$ немає.

Приклад:$f(x)=2x^3-3x^2-12x$;

$x_{\max}=-1$, $x_{\min}=2$.

Значення функції в точках екстремуму: $f(-1)=7$, $f(2)=-20$.

Підручник 10 кл., п. 40 НМТ № 16, 19

Графік функції і графік її похідної

Якщо диференційовна функція $f$ зростає на проміжку, то на ньому $f'(x)\ge0$; якщо спадає — $f'(x)\le0$. У точці екстремуму, де $f$ диференційовна, $f'(x_0)=0$ (дотична горизонтальна).

За графіком $y=f'(x)$: де він вище від осі абсцис — $f$ зростає, де нижче — спадає. Нулі $f'$, у яких графік $f'$ перетинає вісь згори вниз, — точки максимуму $f$; знизу вгору — точки мінімуму. Якщо графік $f'$ лише дотикається до осі (знак не змінюється), екстремуму немає.

Підручник 10 кл., п. 39, 40 НМТ № 16, 19

Найбільше і найменше значення на відрізку

Неперервна на відрізку $[a;\,b]$ функція набуває найбільшого і найменшого значень або на кінцях відрізка, або в точках екстремуму. Схема:

1) знайти критичні точки функції $f$, які належать відрізку $[a;\,b]$;

2) обчислити значення функції в цих точках і на кінцях відрізка;

3) з усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад:$f(x)=x^3-3x$ на $[0;\,2]$:

$f'(x)=3x^2-3=0$ при $x=\pm1$; відрізку належить $x=1$;

$f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.

Отже, $\max\limits_{[0;\,2]}f(x)=f(2)=2$,

$\min\limits_{[0;\,2]}f(x)=f(1)=-2$.

Прикладна задача: шукану величину записують як функцію однієї змінної на проміжку її можливих значень і знаходять найбільше (найменше) значення цієї функції.

Підручник 10 кл., п. 41 НМТ № 19

Дослідження функції й побудова графіка

1) $D(f)$; 2) парність; 3) нулі; 4) проміжки знакосталості; 5) проміжки зростання і спадання; 6) точки екстремуму та значення функції в них; 7) інші особливості (періодичність, поведінка поблизу важливих точок тощо). За цими даними будують графік.

Підручник 10 кл., п. 43 НМТ № 16

Первісна та її загальний вигляд

Функцію $F$ називають первісною функції $f$ на проміжку $I$, якщо для всіх $x\in I$ виконується рівність $F'(x)=f(x)$.

Приклад: $F(x)=x^2$ — первісна функції $f(x)=2x$, бо $(x^2)'=2x$.

Якщо $F$ — первісна функції $f$ на $I$, то будь-яку первісну функції $f$ на $I$ можна записати у вигляді

Цей запис називають загальним виглядом первісних. Графіки первісних отримують один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ординат.

Первісну, графік якої проходить через точку $M(x_0;\,y_0)$, знаходять з умови $F(x_0)+C=y_0$.

Приклад: $f(x)=2\cos x$, $M\bigl(\frac{5\pi}6;\,3\bigr)$: $2\sin\frac{5\pi}6+C=3$, $C=2$; $F(x)=2\sin x+2$.

Оскільки $F'=f$, первісна $F$ зростає на проміжках, де $f(x)>0$, і спадає на проміжках, де $f(x)<0$.

Закон руху $s(t)$ — первісна швидкості $v(t)$, бо $s'(t)=v(t)$.

Підручник 11 кл., п. 9, 10 НМТ № 12, 19

Таблиця первісних

$C$ — довільне число, $k$ — стала; $\alpha\ne-1$; $a>0$, $a\ne1$; $n\in\mathbb N$, $n\ge2$. Формули діють на проміжках з $D(f)$: для $\frac1x$ і цілих $\alpha\le-2$ — на $(-\infty;\,0)$ або $(0;\,+\infty)$, для нецілих $\alpha$ — на $(0;\,+\infty)$. Корені й дроби записують як степені: $\sqrt x=x^{\frac12}$, $\frac1{x^3}=x^{-3}$.

Підручник 11 кл., п. 9, 10 НМТ № 12, 19

Правила знаходження первісних

Якщо $F$ і $G$ — первісні функцій $f$ і $g$ на проміжку $I$, $k$ — число, то:

• $F(x)+G(x)$ — первісна функції $f(x)+g(x)$;

• $kF(x)$ — первісна функції $kf(x)$;

• $\dfrac1k\,F(kx+b)$ — первісна функції $f(kx+b)$, якщо $k\ne0$.

Приклади: $\cos(3x+1)\to\frac13\sin(3x+1)+C$; $e^{2x}\to\frac12\,e^{2x}+C$;

$(2x-1)^4\to\frac{(2x-1)^5}{10}+C$.

Первісна добутку (частки) не дорівнює добутку (частці) первісних: спочатку спрощують вираз (розкривають дужки, ділять почленно).

Підручник 11 кл., п. 10 НМТ № 12, 19

Визначений інтеграл

Нехай $F$ — первісна функції $f$ на проміжку $I$, числа $a$ і $b$, де $a<b$, належать $I$. Різницю $F(b)-F(a)$ називають визначеним інтегралом функції $f$ на відрізку $[a;\,b]$:

Це формула Ньютона–Лейбніца ($F$ — будь-яка первісна). Приклад:

Зокрема, $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, бо $f$ — первісна функції $f'$.

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12

Властивості визначеного інтеграла

$k$ — число, $c\in(a;\,b)$:

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12

Площа криволінійної трапеції

Криволінійна трапеція — фігура, обмежена графіком неперервної й невід’ємної на $[a;\,b]$ функції $f$ і прямими $y=0$, $x=a$, $x=b$.

$S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

Приклад: фігура, обмежена параболою $y=4x-x^2$ і віссю абсцис ($x=0$ і $x=4$ — нулі функції):

Якщо $f\ge0$ і графік $f$ — ламана, то $\int_a^b f(x)\,dx$ — площа фігури під нею (трикутники, трапеції).

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12

Площа фігури між графіками

Якщо функції $f$ і $g$ неперервні на $[a;\,b]$ і $f(x)\ge g(x)$ для всіх $x\in[a;\,b]$, то площа фігури, обмеженої їхніми графіками та прямими $x=a$, $x=b$:

$S=\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12

Межі інтегрування

Якщо фігуру обмежено лише графіками, то $a$ і $b$ — абсциси точок їх перетину, тобто корені рівняння $f(x)=g(x)$.

Приклад: $y=2x$ і $y=x^2$ перетинаються при $x=0$ і $x=2$; на $[0;\,2]$ маємо $2x\ge x^2$:

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12

Площа й знак функції

Якщо $f$ неперервна й $f\le0$ на $[a;\,b]$, то площа фігури, обмеженої графіком $f$, віссю абсцис і прямими $x=a$, $x=b$:

$S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Якщо $f$ на $[a;\,b]$ змінює знак, то $\int_a^b f(x)\,dx=S_1-S_2$, а площа всієї фігури $S=S_1+S_2$ ($S_1$ — площа частин над віссю абсцис, $S_2$ — під нею).

Підручник 11 кл., п. 11 НМТ № 12