Тригонометрія

Радіанна міра кута

Кут в 1 радіан — центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Градуси переводять у радіани множенням на $\frac{\pi}{180}$, радіани в градуси — множенням на $\frac{180^\circ}{\pi}$: $135^\circ=135\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{6}=\frac{5\cdot180^\circ}{6}=150^\circ$. «Рад» зазвичай не пишуть: $\sin2$ — синус кута 2 радіани.

$30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$, $135^\circ=\frac{3\pi}{4}$, $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $270^\circ=\frac{3\pi}{2}$.

Довжина дуги кола радіуса $R$, яка містить $\alpha$ рад: $l=\alpha R$.

Підручник 10 кл., п. 16 НМТ № 17

Синус, косинус, тангенс і котангенс

Одиничне коло — коло радіуса 1 із центром $O(0;\,0)$. Точку $P_0(1;\,0)$ повертають навколо $O$ на кут $\alpha$ (проти годинникової стрілки — $\alpha>0$, за стрілкою — $\alpha<0$) і отримують точку $P(x;\,y)$ (у довідці НМТ — $M$):

$\sin\alpha=y$, $\cos\alpha=x$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($\alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k$)

$\ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ($\alpha\ne\pi k$)

$-1\le\sin\alpha\le1$, $-1\le\cos\alpha\le1$; $\tg\alpha$ і $\ctg\alpha$ набувають будь-яких значень. Кутам $\alpha$ і $\alpha+2\pi n$ відповідає та сама точка $P$.

Підручник 10 кл., п. 16, 17 НМТ № 17

Значення для деяких кутів

«—» — не існує. Рядка $\ctg$ у довідці НМТ немає: $\ctg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}$ ($\alpha\ne\frac{\pi k}{2}$); $\ctg\frac{\pi}{2}=\ctg\frac{3\pi}{2}=0$.

Інші кути — за формулами зведення: $\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\Bigl(\pi-\dfrac{\pi}{3}\Bigr)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$.

Підручник 10 кл., п. 17 і форзац 4; п. 24 НМТ № 17

Одиничне коло: основні кути

Точка кута $\alpha$ має координати $(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$: $\frac{\pi}{6}\to\bigl(\frac{\sqrt3}{2};\,\frac12\bigr)$, $\frac{\pi}{4}\to\bigl(\frac{\sqrt2}{2};\,\frac{\sqrt2}{2}\bigr)$, $\frac{\pi}{3}\to\bigl(\frac12;\,\frac{\sqrt3}{2}\bigr)$.

Точки кутів $\alpha$ і $\pi-\alpha$ симетричні відносно осі $y$ (рівні синуси), $\alpha$ і $-\alpha$ — відносно осі $x$ (рівні косинуси), $\alpha$ і $\pi+\alpha$ — відносно точки $O$ (рівні тангенси).

Підручник 10 кл., п. 16–18 НМТ № 11, 17

Знаки, парність, періодичність

Знаки за координатними чвертями:

Парність: $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ (парна функція); $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\tg(-\alpha)=-\tg\alpha$, $\ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha$ (непарні).

Періодичність: $\sin(\alpha+2\pi n)=\sin\alpha$, $\cos(\alpha+2\pi n)=\cos\alpha$, $\tg(\alpha+\pi n)=\tg\alpha$, $\ctg(\alpha+\pi n)=\ctg\alpha$.

Функцію $f$ називають періодичною з періодом $T\ne0$, якщо для кожного $x\in D(f)$: $f(x-T)=f(x)=f(x+T)$. Головний (найменший додатний) період: $2\pi$ — для $\sin$ і $\cos$, $\pi$ — для $\tg$ і $\ctg$.

Приклад: $\sin\Bigl(-\dfrac{13\pi}{3}\Bigr)=-\sin\Bigl(4\pi+\dfrac{\pi}{3}\Bigr)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Підручник 10 кл., п. 18, 19 НМТ № 16, 17

Основні співвідношення

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) — для будь-якого $\alpha$

$1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($\alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k$)  $1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ($\alpha\ne\pi k$)

$\tg\alpha\cdot\ctg\alpha=1$ ($\alpha\ne\frac{\pi k}{2}$)

Знак у формулах $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ вибирають за чвертю, у якій лежить $\alpha$.

Приклад: $\sin\alpha=-\dfrac{7}{25}$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ (III чверть, тому $\cos\alpha<0$): $\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=-\dfrac{24}{25}$, $\tg\alpha=\dfrac{7}{24}$.

Підручник 10 кл., п. 22 НМТ № 17

Функції $y=\sin x$ і $y=\cos x$

Графік $y=\cos x$ — синусоїда $y=\sin x$, перенесена на $\frac{\pi}{2}$ ліворуч: $\cos x=\sin\bigl(x+\frac{\pi}{2}\bigr)$.

Підручник 10 кл., п. 20 НМТ № 16

Функції $y=\tg x$ і $y=\ctg x$

$y=\tg x$

$y=\ctg x$

Найбільшого й найменшого значень не мають. Прямі $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ (для $\tg x$) і $x=\pi n$ (для $\ctg x$) графік не перетинає: у цих точках функція не визначена.

Підручник 10 кл., п. 21 НМТ № 16

Область значень і період

Для функцій $y=A\sin(kx+b)+m$ і $y=A\cos(kx+b)+m$ ($A\ne0$, $k\ne0$ — будь-які числа):

$E(y)=[m-|A|;\ m+|A|]$,

головний період $T=\dfrac{2\pi}{|k|}$.

(Бо $-1\le\sin t\le1$ і $-1\le\cos t\le1$.) На рисунку: $y=2\sin2x+1$, $E(y)=[-1;\,3]$, $T=\pi$. Перетворення графіків — у довіднику «Функції та графіки».

Для $y=\tg(kx+b)$ і $y=\ctg(kx+b)$ ($k\ne0$) головний період $T=\frac{\pi}{|k|}$.

Приклади: $1-4\cos x$ набуває значень від $-3$ до $5$; $\sin x\cos x=\frac12\sin2x$ — від $-\frac12$ до $\frac12$; $a\sin x+b\cos x$ — від $-\sqrt{a^2+b^2}$ до $\sqrt{a^2+b^2}$ (допоміжний кут).

Заміна $t=\sin x$, $t\in[-1;\,1]$: $\sin^2x-\sin x=t^2-t$ набуває значень від $-\frac14$ (при $t=\frac12$) до $2$ (при $t=-1$).

Підручник 10 кл., п. 17, 19, 20, 23 НМТ № 16

Формули додавання

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

(якщо $\cos\alpha\ne0$, $\cos\beta\ne0$ і $\cos(\alpha\pm\beta)\ne0$)

Приклад: $\cos70^\circ\cos10^\circ+\sin70^\circ\sin10^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

Допоміжний кут ($a^2+b^2\ne0$): $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)$, де $\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Приклад: $\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\bigl(x+\frac{\pi}{3}\bigr)$.

Підручник 10 кл., п. 23, 31 НМТ № 17

Формули зведення

Для аргументів $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$, $\pi\pm\alpha$, $\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$:

1) у правій частині ставлять той знак, який мала б ліва частина при $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ (сама формула правильна для будь-якого $\alpha$);

2) для $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ і $\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$ назву функції змінюють: $\sin\leftrightarrow\cos$, $\tg\leftrightarrow\ctg$; для $\pi\pm\alpha$ назва не змінюється.

Приклад: $\sin\Bigl(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\Bigr)=-\cos\alpha$ (кут $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ лежить у III чверті, там $\sin<0$; назва змінюється).

З довідки НМТ (там кути записано в градусах):

$\sin\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\Bigr)=\cos\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\cos\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\Bigr)=-\sin\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\tg\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\Bigr)=-\dfrac{1}{\tg\alpha}$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) ($\alpha\ne\frac{\pi k}{2}$)

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ) $\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

Також $\sin\bigl(\frac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\cos\alpha$, $\cos\bigl(\frac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\sin\alpha$, $\tg\bigl(\frac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\ctg\alpha$, $\tg\bigl(\frac{\pi}{2}+\alpha\bigr)=-\ctg\alpha$.

Спершу відкидають цілі періоди: $\sin930^\circ=\sin(2\cdot360^\circ+210^\circ)=\sin(180^\circ+30^\circ)=-\sin30^\circ=-\frac12$.

Підручник 10 кл., п. 24 НМТ № 17

Подвійний і половинний аргумент

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)  $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$Д (є в довідкових матеріалах НМТ)

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$

Пониження степеня:

Те саме: $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$.

Половинний аргумент ($\alpha$ замість $2\alpha$): $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$, $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$.

Потрійний аргумент: $\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$, $\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$.

Приклади: $\sin15^\circ\cos15^\circ=\dfrac12\sin30^\circ=\dfrac14$; $\cos^2\dfrac{\pi}{8}-\sin^2\dfrac{\pi}{8}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Підручник 10 кл., п. 25 НМТ № 17

Сума й різниця синусів і косинусів

Добуток у суму:

$\sin x\cos y=\dfrac12\bigl(\sin(x-y)+\sin(x+y)\bigr)$

$\cos x\cos y=\dfrac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr)$

$\sin x\sin y=\dfrac12\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)$

Приклад: $\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin45^\circ\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt6}{2}$.

Підручник 10 кл., п. 26 НМТ № 17

Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс

$\arccos b$ ($|b|\le1$) — число з проміжку $[0;\,\pi]$, косинус якого дорівнює $b$;

$\arcsin b$ ($|b|\le1$) — число з проміжку $\Bigl[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\Bigr]$, синус якого дорівнює $b$;

$\arctg b$ — число з проміжку $\Bigl(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\Bigr)$, тангенс якого дорівнює $b$;

$\arcctg b$ — число з проміжку $(0;\,\pi)$, котангенс якого дорівнює $b$.

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$,  $\arccos(-x)=\pi-\arccos x$,

$\arctg(-x)=-\arctg x$,  $\arcctg(-x)=\pi-\arcctg x$;

$\sin(\arcsin x)=x$, $\cos(\arccos x)=x$; $\tg(\arctg x)=x$, $\ctg(\arcctg x)=x$;

$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$,  $\arctg x+\arcctg x=\dfrac{\pi}{2}$.

Формули з $\arcsin x$ і $\arccos x$ — лише для $|x|\le1$.

Приклади: $\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$; $\arccos\Bigl(-\dfrac12\Bigr)=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$; $\arctg(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$; $\arcctg\bigl(-\sqrt3\bigr)=\dfrac{5\pi}{6}$.

Хоча $\cos\bigl(-\frac{\pi}{3}\bigr)=\frac12$, але $\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}$, бо $-\frac{\pi}{3}\notin[0;\,\pi]$.

Підручник 10 кл., п. 27–30 НМТ № 11

Найпростіші тригонометричні рівняння

Якщо $|b|>1$, рівняння $\cos x=b$ і $\sin x=b$ коренів не мають. Інший запис коренів рівняння $\sin x=b$: $x=\arcsin b+2\pi n$ або $x=\pi-\arcsin b+2\pi n$.

$\cos x=b$, $\alpha=\arccos b$

$\sin x=b$, $\alpha=\arcsin b$

Окремі випадки (їх варто пам’ятати):

Приклади: $\sin x=-\dfrac12$: $x=(-1)^k\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)+\pi k=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k$;

$\cos4x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$: $4x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $x=\pm\dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi n}{2}$.

Підручник 10 кл., п. 27–29 НМТ № 11

Методи розв’язування рівнянь

• Заміна змінної: за допомогою формул переходять до однієї функції одного аргументу ($\sin^2x=1-\cos^2x$, $\cos2x=1-2\sin^2x$ тощо).

Приклад: $2\cos^2x-\sin x-1=0$; $2\sin^2x+\sin x-1=0$; $t=\sin x$, $|t|\le1$: $t=\frac12$ або $t=-1$; $x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$ або $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.

• Однорідні рівняння: $a\sin x+b\cos x=0$ ($a\ne0$) — ділять на $\cos x$: $\tg x=-\frac{b}{a}$;

$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ ($a\ne0$) — ділять на $\cos^2x$: $a\tg^2x+b\tg x+c=0$.

Корені не губляться: якби $\cos x=0$, то й $\sin x=0$, а це неможливо.

Приклад: $\sin x+\cos x=0$; $\tg x=-1$; $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$.

• Розкладання на множники: добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю, а інші при цьому мають зміст. Приклад: $\sin2x=\sin x$; $\sin x\,(2\cos x-1)=0$; $x=\pi n$ або $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$.

• $a\sin x+b\cos x=c$ — через допоміжний кут: $\sin(x+\varphi)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Приклад: $\sqrt3\cos x+\sin x=2$; $\sin\bigl(x+\frac{\pi}{3}\bigr)=1$; $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.

• Обмеженість: оскільки $\sin x\le1$ і $\cos y\le1$, рівність $\sin x+\cos y=2$ можлива лише тоді, коли $\sin x=1$ і $\cos y=1$.

• Якщо в рівнянні є $\tg$, $\ctg$ або дріб, знайдені корені перевіряють (ОДЗ).

Підручник 10 кл., п. 31, 32 НМТ № 11

Корені на проміжку

Корені рівняння $f(x)=b$ — абсциси спільних точок графіка $y=f(x)$ і прямої $y=b$. На рисунку — $y=\sin x$ на $[0;\,2\pi]$ і пряма $y=b$, де $0<b<1$.

Рівняння $\sin x=b$ на $[0;\,2\pi]$ має: 2 корені, якщо $-1<b<0$ або $0<b<1$; 3 корені, якщо $b=0$ ($x=0$, $\pi$, $2\pi$); 1 корінь, якщо $b=\pm1$; жодного, якщо $|b|>1$.

Корені із загальної формули добирають, підставляючи $n=0,\,\pm1,\,\pm2,\,\dots$: $\cos x=\frac12$ на $[0;\,2\pi]$ — $x=\frac{\pi}{3}$ і $x=\frac{5\pi}{3}$ ($x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$ при $n=0$ і $n=1$).

Підручник 10 кл., п. 27, 28 НМТ № 11

Тригонометричні нерівності

1) На одиничному колі позначають точки, у яких $\sin x=a$ (пряма $y=a$) або $\cos x=a$ (пряма $x=a$).

2) Виділяють дугу, на якій нерівність виконується, і записують кути її кінців, рухаючись проти годинникової стрілки: менший кут — на початку дуги.

3) Додають період: $2\pi n$. Кінці дуги входять у відповідь лише для нестрогої нерівності.

$\sin x>\frac12$:

$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$

$\cos x\le-\frac{\sqrt2}{2}$:

$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le\frac{5\pi}{4}+2\pi n$

Для $\tg x$ і $\ctg x$ розв’язують на проміжку завдовжки $\pi$ за графіком і додають $\pi n$: $\tg x<1$: $-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<\dfrac{\pi}{4}+\pi n$.

Підручник 10 кл., п. 33